发布时间 : 星期日 文章《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章更新完毕开始阅读f38e5f1a1ed9ad51f11df230
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们才知道该公设是不能由其它公设推导出来的，从而证明了这5个公设是相互独立的。同时，随着非欧几何的诞生，人们关于几何的认识也从欧几里得的框架中解放出来，使得几何学得到迅速的发展。
7、阿基米德是如何让用力学方法发现和证明球体积计算公式的？试比较他的方法与其他民族，如中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。
答：阿基米德推导球体积公式的思想方法是先利用力学中的杠杆平衡原理得出球体积公式,然后运用几何方法加以论证，巧妙地将他敏锐的洞察力、理论知识和实践，以及他的渊博知识联系在一起，最终求得球体体积。而第二种方法是中国古代数学家祖冲之的儿子祖暅利用祖氏定理\幂势既同，则积不容异\和\出入相补原理\方法，在牟合方盖的基础上，巧妙地求得出了球体体积。尽管两种求解方法极不相同，但我们可以肯定是：阿基米德给予我们的方法、思想和祖暅原理给予我们的方法、思想均有相同的启示：要注重基础理论知识的学习； 学会等价联系和转化；勇于发明、创新；注重学习兴趣、思想、方法的培养；培养敏锐的观察力。
8、圆锥曲线的概念是如何提出的？古希腊的数学家们又是如何得到圆锥曲线的？
答：阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式，
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进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。
9、希腊数学最重要的成就有哪些?他们留给了后人哪些问题？这些问题为什么在希腊人的手里无法解决？
答：1）主要成就包括：泰勒斯领导的爱奥尼亚学派开了希腊命题论证之先河，并证明了四
条定理和”泰勒斯定理”，毕达哥拉斯学派，证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理，并
讨论了许多数论的性质，发现了不可公度量，欧几里得的《原本》是数学史上的一座
丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想，阿基米德用穷竭
法计算圆的周长和面积公式，阿波罗里斯创立了完美的圆锥曲线理论，丢番图的《算
术》是希腊算数与代数成就的最高标志等。
2）留下的问题：任意角三等分、倍立方问题、化圆为方问题。 3）因为这些问题经证明是不可能解决的问题，在这一时期，定量研究有了很大的进展，
但并没有使偏重几何的方向发生逆转，算数和代数中，演绎室的逻辑结构始终没有建
立起来，三角学的研究尚未摆脱天文学，这就决定了对于数学
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的研究仍然是直观、经
验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难。
10、收集阅读相关资料，并对其进行整理，论述欧几里得和阿基米德的科学精神和爱国主义情操。
答：欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作。欧几里得是一位温和仁慈的蔼然长者，学生们都很尊敬他。他严谨治学，不图名利，据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时，他答道：“几何无王者之道”。当有一位学生刚学完第一个几何命题便问欧几里得学了几何后将得到什么好处时，欧几里得则幽默地对侍者说：“拿一个便士给这位先生，因为他总要从他学习的东西中获取好处的。”欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给于重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，他做出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方法组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。欧几里得还写了许多其他出色的著作，他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本：（1）《数据》这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，
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共95个问题；（2）《论图形的分割》，研究将图形分割成比例的问题，共有36个问题。
阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家，母亲出生于名门望族，且知书达理。青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，当时亚历山大的学术空气较为自由，学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。这里的科学研究包括四个方面：文学、数学、天文学和医学，由于希腊天文学实际是一种数理天文学，以天体运动的数学设计为其主要内容，而医学和占星术也含有数学，故数学在亚历山大占有主导地位。在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》，研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法，特别是安提丰和欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本工具。阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表。公元前212年，罗马人在其统帅马塞路斯的率领下围攻叙拉古，由于叛徒出卖，罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵剑下，临死前还在思考几何问题。阿基米德的数学著作流传至今，按时间顺序，依次为《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，阿基米德应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范。阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和
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体积 ，可将它分成很多窄的平行条和重心为已知的图形，利用杠杆平衡原理及已知图形的面积、体积，便可探求出未知图形的面积和体积来。虽然“穷竭法”在欧几里得《几何原本》中已有记载，甚至更早的还可追溯到欧多克索斯，但是任何人都难以否认这样的事实；阿基米德对穷竭法的运用代表了古代用有限方法处理无限问题的最高水平.