发布时间 : 星期二 文章2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线3柱面与平面的截面学案北师大版选修4-1更新完毕开始阅读f390719d86254b35eefdc8d376eeaeaad1f316bb
§3 柱面与平面的截面
[对应学生用书P36]
[自主学习]
1．圆柱面可以看成是一个矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴旋转一周后AB边所形成的曲面．
2．平面上一条曲线C绕着一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面． 3．用垂直于圆柱轴的平面截圆柱，所得交线是圆． 4．当截面β与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆．
[合作探究]
将两个球放入圆柱内，使它们位于平面γ的两侧，且每一个球既与圆柱相切，又与平面γ相切．那么平面γ与圆柱面的截线是什么？
提示：椭圆
[对应学生用书P37]
椭圆的度量性质 [例1] 已知平面α与一圆柱的母线成45°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是( )
A．3
22 2
B．1 1D． 2
C．[思路点拨] 本题主要考查椭圆的度量性质，解决此题时只需结合椭圆的性质求解即可．
[精解详析] 设圆柱的底半径为r，由题意知平面与圆柱截口图形为椭圆，短轴长为2b＝2r，
2b则2a＝＝22b＝22r，
sin 45°∴a＝2r，c＝a－b＝r ∴离心率e＝＝2
2
ca2 2
[答案] C
椭圆是圆柱与平面的截口，因此椭圆的度量性质与圆柱的底面半径、截面与母线的夹角相关．
1．已知圆柱的底面半径为r，平面α与圆柱母线的夹角为30°，则它们截口椭圆的焦距是( )
A．23r C．3r
B．43r D．3r
解析：选A 如图，过G2作G2H⊥AD，H为垂足，则G2H＝2r. 在Rt△G1G2H中，
G1G2＝
＝2r×2＝4r，
sin30°
G2H∴长轴2a＝G1G2＝4r，短轴2b＝2r. ∴焦距2c＝2a－b＝2×3r＝23r.
2
2
椭圆的性质的应用 [例2] 如图，已知球O1，O2分别切平面β于点F1，F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与Q1Q2
垂直且互相平分，求证：F1F2＝2a－b.
[思路点拨] 本题主要考查椭圆性质的应用．解决时要结合图形，依据圆柱、双球及其截面的关系综合应用相关性质去求解．
[精解详析] 连接AB，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，则四边形ABHG1
是矩形．∴G1H＝AB.
设P1，P2分别是Q1，Q2的平行射影，连接P1P2，P1Q1，P2Q2， 则P1Q1綊P2Q2.
∴P1Q1Q2P2是平行四边形．
∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直径， ∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.又由切线长定理得
22G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，
∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.
又G1A＝BH，
∴G2F1－G2F2＝G2B－BH. ∴F1F2＝G2H. 在Rt△G1G2H中，
2
G2H＝G1G22－G1H＝
2a2
－2b2
＝2 a－b.
22
如图将双球放入圆柱内，可得：
(1)圆柱形物体的斜截口是椭圆．
(2)椭圆的长轴长为AD，短轴长为圆的直径．焦点为切点F1，F2.焦距2c＝2a－b＝
2
2
F1F2.
解决并应用此类问题时，要仔细考查双球与圆柱及截面的关系，常用到切线长定理、三角形相似、全等、解直角三角形等相关知识．
2．如图，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.
解：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c.
c422
由已知可得a＝10，b＝6，c＝a－b＝8，e＝＝.
a5
由椭圆定义PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20. 又∵PF1∶PF2＝1∶3， ∴PF1＝5，PF2＝15. 由离心率定义， ∴
PF14＝. PQ5
25∴PQ＝.
4
本课时考点常以客观题形式考查平面与柱面的截线的几何性质及应用．难度中等．
[考题印证]
已知圆柱底面半径为3，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．
[命题立意]
本题主要考查利用柱面与平面的截线性质及椭圆的定义求方程问题． [自主尝试] 如图，过G1作G1H⊥BC于H.
∵圆柱底面半径为3， ∴AB＝23.
∵四边形ABHG1是矩形， ∴AB＝G1H＝23. 在Rt△G1G2H中，