发布时间 : 星期二 文章高中数学竞赛资料收集更新完毕开始阅读f396f6a4376baf1ffc4fadf3
3. 立体几何 推荐：《数学竞赛研究教程》中立体几何部分
《奥数教程》系列中向量部分。 《几何不等式》
二、 代数
基本观点：元的理解和使用（代数变形），注意对称。 1. 多项式：理解“不定元” 三个基本视角：系数，根，值 推荐：《奥数教程》高三【单墫】
2. 函数方程：注意函数的定义；一种二元关系。 方法：逐层递推，巧妙代元。
0，1，零点，不动点，单射，满射，单调，奇偶?? 推荐：《题典.代数卷》
【《世界数学奥林匹克解题大辞典－代数卷》】
3. 不等式：另见笔记
较易的不等式可以组合成较复杂的不等式。 推荐：《小丛书》两本，《湖南.代数卷》 【《初等数学小丛书系列 几何不等式》单墫；《初等数学小丛书系列 柯西不等式与排序不等式》南山；《奥赛经典.代数卷》湖南师大出版社】
三、 数论
注意整个理论体系，数论的体系性很强，同时基本理论中也包括了最基本的思想方法。任何一道数论题也都有相应的一串问题及明显的背景。但掌握体系必须符合人正常的思维规律。体系是从大量事实中抽象出来的，应先让学习者纯凭直觉做一些数论题，在适当的时候引导他自己发现更基本的规律，或给他点明不必强行追求 “返璞归真”高级的理论自然是有用才会提出，如果它能揭示问题的本质就可大胆使用，而且应该使用。 不定方程是竞赛的重点，注意代数变形在数论中的应用。 推荐：《初等数论》《数论讲义》 【《初等数论》陈景润；《数论讲义》，柯召】
四、 组合
组合无体系，是纯直觉的。 推荐：《华南师大附中习题集》，环球城市竞赛题，俄罗斯赛题，《组合卷》（题典，湖南）
【环球城市数学竞赛(International Mathematics Tournament of the Towns)；莫斯科数学竞赛；《奥赛经典.组合》湖南师大出版社】
? 书目评论：
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《华南师大附中习题集》：经典，特别是组合部分，题题经典，将灵巧流畅的解题及思维方式发挥到极致。 《叶军教程》：研究性很强,适合由老师认真研读后讲解。 《数学竞赛研究教程》：风格独特，有思想性，在时间充裕的情况下建议全书阅读。
《走向IMO》：好题不少，但难度太大，可用于少数选手在专题训练时配合使用。
? 数学竞赛经验
1. 对几个基本概念的诠释 ? 本质:”本质”并不是什么高深神秘之物,我们说一种说法是本质的,其实只
是说这种说法最为简单,能揭示更多的相关问题,更具有启发性等等.我们初做题时,看到证明过程中的方法技巧觉得很巧妙就有兴趣,但做到一定程度之后,就不会满足于简单地做出题来,而要追求最简单和最新颖的思维方式,以及将各种不同的题目分类,统一.这实际上就是对本质的追求. ? 结构:一个结论单独存在没有意义,如果它能解决某一类问题,就显得有意
义.如果有许多结论互相关联,或是许多事物互相影响协同变化,特别是当我们可以感觉到其中有某种我们还不知道的内在联系时,我们就会对它产生兴趣.所谓结构就是指这一类而言.比如群的结构,图的结构,或是数论中各定理组成的逻辑结构,或是几何中点线圆相似形组成的几何结构.结构中往往有某种对称性.对结构的领悟可以培养深层的数学直觉.
? 思维:人的思维的基本方式是归纳,即从自己的生活,以前的经历中获取经
验,提出规律.比如数的概念最初就是人类在日常生活中提炼出来的.比如我们初学电学的时候,可能对“电压”, “电流”等概念完全无法理解,更不能应用自如,但学了一段时间之后,做了不少习题,就自然而然地对这些概念有了理解,能够应用,甚至能够提出一些更深刻的问题或是概念.我们学习数学时,见过的技巧也不能保证立刻就会应用,而是必先经历一段对技巧的内部结构的把握和理解的过程.也许要将一个技巧重复见上多次,也许要接触更深刻的东西才能理解这个技巧.所以,做过的题不会做很正常,因为对这个题还没有真正理解.
? 关注思维:学习一个概念或是一种技巧,都需按人正常的思维方式进行,最
好是让它由学习者在学习了一些相关内容之后自己提炼出来,也可以在学习者遇到困难纠缠不清时有教师点破迷雾.比如数论的理论体系和组合的直觉就可以长期少量地进行培养,先让学习者自己做一些题目,他也许不十分了解数论中的各种定理,但凭借直觉他就可以自己解决一部分问题.控制题目的难度和知识点,可以引导学习者自己把那些基本定理悟出来. 等时机成熟的时候再引导学习者将所有的经验总结归纳,补充不足,形成完整的知识结构.也可以按正常的课本授课,讲述一些基本知识,让学习者用它们解决问题,但需给他们时间,慢慢悟出其中奥妙.
? 思维模式:学习者在接触了一些问题之后,不但会形成应对某种特殊问题
的特殊方法,而且会形成一种可以用来应对新问题的普遍措施,即思维模式.要解决一个问题,解法往往很多,每一种解法都包含了许多不同步骤,从任何一个步骤入手都有办法得到整个解法.通常的思维模式有: ? 归纳:从具体事例中得到启发,如先考虑特殊情况.
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? 划归:把问题的解决转化为它的具有本质特性的一部分的解决.
? 猜想:为解决问题,先猜想出一些可能的中间步骤或结论.这往往需要
较强的数学直觉。
? 等价变换:把问题换一种语言叙述,从不同的角度不同的背景看问题.
如反证法是从反面看问题,同一法是交换问题的条件和结论.再如一个不减的整数列An无上界也就等价于有无限多个n使A(n+1)>An.有时可以重组问题的条件和结论，分析定与动的关系。比如几何变换及不等式中的调整。
初学者以自己知道的方法技巧来套题目，没有思维模式可言；高手的竞争往往是思维模式的竞争；对于数学直觉更强的学习者，也许可以超越思维模式的限制，任凭直觉自由发展，但这已远远超越数学竞赛的范畴。数学竞赛的培训的目的是培养面对更多新问题的思维模式。每种思维模式都有自身的限制，需要学习者不断突破，海纳百川。 2. 解题的原则：追求本质，自然为上，把题目当朋友。 3. 综合数学能力的培养
1) 过程训练：写过程以自然的反应思维为上，关键处要注明，详简看
情况而定。要把写过程当作整理思维的方法，尝试用最朴素最有启发性的语言来叙述。写过程之前先要逐步推敲每一步思维，直到自己觉得每一步都非如此不可。同一题的过程可写多遍，如此训练，对思维大有好处。
2) 计算训练：计算能力和心态有很大关系，需要心平气和，把握节奏。
不要把计算当做一件很枯燥的工作，要观察发现计算结果的对称性。有时题目的内在规律就隐藏在其中。计算就向跑步，虽不象打球那样有趣，但欣赏周围的风景，感觉到自己的呼吸，也会觉得欣喜。 3) 心态训练：心态本说有就有说无就无，考场上的心态大体是长时间
人生状态的反映，所以平时就要快乐起来。心中有了问题就要认真思考进行回答，但不可以把自己囚禁在那一种状态之中。人对世界的理解是归纳的过程，其中常有错误，许多问题本来是不存在的，甚至许多概念也都是归纳中的错误。当人沉浸在一种状态之中的时候，往往会戴上有色眼镜，看不到世界的丰富多彩，但只要一走出来立刻会发现曾经的想法是多么荒唐。要多接触各方面的思想，特别是文学和哲学著作，完善自己的人格，要做题，先作人。做题的最好状态是自由联想，自然而然，在考场上要把最灵活的思维调出来。在遇到难题没有思路时，下面的方法也许有用：列出已有的所有想法并回顾每种想法，如果有一点新思维的火花就马上抓住，进行下去。
-----------------------------------==========================------------------------ 环球城市数学竞赛(International Mathematics Tournament of the Towns)
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杨默涵 数学竞赛经验
在数学竞赛方面我一直很失败，虽然花了很多精力，但是结果并不理想。在这里，我只是将自己学习数学的一些经验和感触写出来，供其他学习数学的新手参考。
数学竞赛的体系数学竞赛的知识主要是4个方面——代数，几何，数论和组合。虽然这四个方面在内容上相差很大，但是在实际应用中是互相联系的，毕竟纯粹的某一方面的题目要么就是太简单，要么就是太难，故而这两种题目出现的几率都不大。
·代数
代数的基础是计算，需要有扎实的算功和细密的思维，这个可以通过做一定数量的函数、数列和复数的题目练习。当有了比较好的代数功底后，在处理各种繁难的问题时也会感到游刃有余。参考《华南师大附中习题集》代数部分
? 函数在基础部分函数主要起铺垫作用，这部分的题目一般不难，主要就是基
本的代数变形和讨论。入门竞赛书上的这部分内容都差不多，参考《奥数教程》高一分册。函数部分的难点是函数方程和高斯函数。
? 函数方程这个部分的题目在大赛中经常出现，Cauchy方法是解决此类问
题最一般也是最为重要的方法，同时要注意考察0点，不动点和特殊值，并注意常用的代换。在函数方程的学习过程中可以适当参考微分方程的解法，对于一些很难看出原函数的题目往往可以先假定函数可微，利用微分方程求出原函数，再根据原函数的特点给出初等方法的证明。【牛人】参考《函数方程》，《题典·代数卷》
? 高斯函数 重要的数论函数，在数论中用处很多，数量掌握其变形技巧
对于简化解题过程有很大的帮助。同时注意，在处理高斯函数的时候的代换技巧。参考《奥林匹克数学研究教程》中高斯函数部分，2005年国家队选拔赛试题
? 数列 数列是高中学习的一个重点部分，它的题目可以和代数中任何部分联
系起来，因而备受命题者青睐。这部分的学习需要熟练掌握各种常见数列的通项求法和不动点的相关理论，注意计算能力的培养。参考《奥数教程》高一分册，《奥林匹克数学研究教程》中数列部分
? 复数 复数部分主要是注意数形结合，习惯复数问题几何化，代数问题几何
化的思想。注意经典题目的思想，这部分的题目涉及到数学中很多重要的方法，简单题目要仔细研究。参考《奥林匹克数学研究教程》中复数部分 ? 不等式 不等式是数学竞赛中必考题型，而且每次出现新题能够解出的人都
寥寥无几。此部分的题目方法很多，代数技巧非常强，但是大部分都只是A-G不等式和Cauchy不等式的变形使用。因而在解题的时候思维一定要清晰，不要陷入式子的海洋而迷失了方向，千万不要胡乱套用高等不等式。当然，对于Jensen不等式等高等数学中的不等式也必须了解。在解题的时候要充分利用取等号的条件寻求解题的线索，书写时也要主要写出取等号的条件。参考《奥林匹克数学研究教程》中不等式部分，《题典·代数卷》，历届大赛题目
? 多项式 多项式是数学竞赛中思想方法偏向于高等数学的一个部分，解题时
主要考察一个式子的两种表示形式即并且注意特殊值的考察。注意到这里的
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