发布时间 : 星期三 文章4.多项式最大公因式的求解更新完毕开始阅读f3bd7f8b50e2524de5187ef0
港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法
多项式最大公因式的求法
定理1设f1(x),f2(x),?,fn(x)(n?2)是P[x]中n个多项式.P[x]中多项式d(x)称为
f1(x),f2(x),?,fn(x)(n?2)的最大公因式，如果它满足下面的两个条件：
(1)d(x)是f1(x),f2(x),?,fn(x)的公因式. (2)f1(x),f2(x),?,fn(x)的公因式全是d(x)的因式.
定理2 设f(x),g(x),h(x)是P[x]中的多项式，P[x]中多项式d(x)是f(x),g(x),h(x)的最大公因式，c是任意的非零常数，则有d(x)?(f(x),g(x))?(cf(x)?h(x)g(x),g(x)).
证明：当f(x)、g(x)有一个为零，例如g(x)?0，那么结论显然成立. 当g(x)?0时，则有d(x)f(x)，d(x)g(x).
从而d(x)cf(x)?h(x)g(x)，即d(x)是cf(x)?h(x)g(x)与g(x)的一个公因式，令
c(x)cf(x)?h(x)g(x)，c(x)g(x).根据整除的性质，我们有c(x)f(x)，所以c(x)d(x).
所以d(x)?(f(x),g(x))?(cf(x)?h(x)g(x),g(x))
方法1：用辗转相除法求最大公因式
引理 如果f1(x),f2(x),?,fn-1(x(n)?3)的最大公因式存在，那么
f1(x),f2(x),?,fn(x)(n?2)的最大公因式也存在，且
(f1(x),f2(x),?,fn-1(x),fn(x))?((f1(x),f2(x),?,fn-1(x)),fn(x)) . (1)
证明：由题意，假设f1(x),f2(x),?,fn-1(x)的最大公因式为d1(x)，那么d1(x)与fn(x)的最大公因式d(x)也是存在的. (2)
又由(1)、(2)式，可知d(x)|fi(x), (1?i?n).
假设c(x)是f1(x),f2(x),?,fn(x)(n?2)的一个公因式，由(1)式可得c(x)|d1(x).这样c(x)就是d1(x)与fn(x)的一个公因式，再由(2)式可得c(x)|d(x).
所以d(x)?(f1(x),f2(x),?,fn-1(x),fn(x)) .
定理3 设f1(x),f2(x),?,fn(x)(n?2)是P[x]中的n个多项式，则在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f1(x),f2(x),?,fn(x)的一个组合，即有p[x]中多项式
u1(x),u2(x),?,un(x)使d(x)?u1(x)f1(x)?u2(x)f2(x)???un(x)fn(x).
1
港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法
由定理3对一般情况， 设f(x)?anxn?an?1xn?1?则，(f(x),g(x))?(?a1x?a0,g(x)?bnxn?bn?1xn?1??b1x?b0，不妨设n?mbmbf(x)?xn?mg(x),g(x)).记f1(x)?mf(x)?xn?mg(x)，令ananf1(x)?ckxk?ck?1xk?1???c1x?c0，则k?m，故
(f(x),g(x))?(f1(x),g(x))?(f1(x),记f2(x)?ckg(x)?xm?1f1(x)). bmckg(x)?xm?1f1(x)，且?(f2(x))??(f1(x))故(f(x),g(x))?(f1(x),f2(x)) bm如此下去，所得差式的次数不断降低，即?(g(x))??(f1(x))??(f2(x))??.因此在有限次之后，必然有一差式为零，即(f(x),g(x))?(f1(x),f2(x))???(fr(x),0)，则fr(x)乘以首项系数的倒数之后即为d(x).
). 例1 例1 设f(x)?x3?x,g(x)?x2?x求(f(x),g(x)解：由题意得： g(x) f(x)
11q2(x)?x? 63 x2?3x?2x2?x x3?xx3?3x2?2x?3x2?3x?3x2?9x?6 x?3?q1(x)
2x?2 2x?20
r1?6x?6 用等式表示出来，就是
f(x)?(x?3)(x2?3x?2) 11g(x)?(x?)(6x?6)63 因此(f(x),g(x))?x?1
43232例 2 设f(x)?x?2x?x?2x,g(x)?x?6x?5x?12 求(f(x),g(x))，并求
u(x),v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x).
2
港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法
解：由题意得：
g(x) f(x) 32113x?6x?5x?12x??q2(x) 185458x3?x2?x33x4?2x3?x2?2xx?6x?5x?12x432 x?4?q1(x) 13223x?x?123313265104x?x399 ?4x3?6x2?10x?4x?24x?20x?4832 44r2?x? 99r1?18x2?20x?4818x2?18x48x?4848x?4881 2x?108?q3(x) 0 用等式表示即
f(x)?(x?4)g(x)?(18x2?20x?48)
11344g(x)?(x?)(18x2?20x?48)?(x?)
185499 18x?20x?48?(x?)(249481x?108) 因此(f(x),g(x))?x?1 92而
44113x??g(x)?(x?)(18x2?20x?48) 991854113?g(x)?(x?)[f(x)?(x?4)g(x)]
1854?(?113113x?)f(x)?[1?(x?)(x?4)]g(x) 18541854113111x?)f(x)?(x2?x?)g(x) 1854185427113111x?,v(x)?x2?x?就有18541854273
?(?于是，令u(x)??港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法
(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)
方法2：方程组法求解多项式的最大公因式
定理4 设f(x)、g(x)是P[x]上的两个多项式，令??f(x)?0将方程组化解为
?g(x)?0?d(x)?0则当c?0时，P[x]中多项式d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式；当c?0时，??c?0f(x)与g(x)互素.（其中c是常数）
例 3 设f(x)?x3?3x2?2x?6,g(x)?x3?x2?2x?2求(f(x),g(x))
?x3?3x2?2x?6?0解：作方程组?3 2?x?x?2x?2?0?x2?2?0 ??????32?x?x?2x?2?0((1)?(2))?4?x2?2?0 ??????2??x?2?0(2)?(1)?x?x2?2?0 ??????0?0(2)?(1)所以(f(x),g(x))?x?2
例 4 设f(x)?x?2x?x?4x?2,g(x)?x?x?x?2x?2 求(f(x),g(x))
4324322?x4?2x3?x2?4x?2?0解：作方程组?4 32x?x?x?2x?2?0???x3?2x?0 ?????432x?x?x?2x?2?0?(1)?(2)??x3?2x?0 ??????32??x?x?2x?2?0(2)?(1)?x??x3?2x?0 ?????2?x?2?0(1)?(2)?0?01)?(2)?x ?(?????2?x?2?04
港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法
所以(f(x),g(x))?x2?2
5