发布时间 : 星期五 文章初二数学上册培优辅导讲义(人教版)更新完毕开始阅读f3c47f2353ea551810a6f524ccbff121dc36c556
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪E A 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
C 边的反向延长线.
F ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】
C 01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
⑴∠ARC的对顶角是 . 邻补角
P 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； Q A 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. F 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、 ∠AOC．
⑴求∠EOF的度数；
F ⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝＝
1∠BOC，∠FOC2111∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝2221??BOC??AOC? 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝13180°＝22A O 90° ⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【变式题组】
01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，
则∠BOD的度数是（ ） D A．20° B． 40° C．50° D．80°
E 4 1 D B 3 2 A O A
C （第1题图） （第2题图） E 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上
A 的点，试用三角尺完成下列作图：
R B ⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线
D O 段. l2
B 【解法指导】垂线是一条直线，
垂线段是一条线段.
l1 【变式题组】 01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，C
E PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、
B 1
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请
作出∠CBE的对顶角，并求其度数. A
B
A
E ⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越
来越近..在 【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的， 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 并说出它们的名称： F C 【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝∠1和∠2：
1 65°，求∠BOE和∠AOC的度数.
E 4 D 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依∠1和∠3：
2 3 6 A 据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝
5 A B 90°，OF⊥AB． ∠1和∠6：
O D E
F ∠2和∠6： C 【变式题组】 ∠2和∠4： 01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠3和∠5：
∠AOE的度数. ∠3和∠4：
E A
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是： C 首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的D O 02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD． 直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确⑴求∠AOC的度数； 定它们的名称.
B D ⑵试说明OD与AB的位置关系.
C
2
N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
D B B O A
【变式题组】
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同
旁内角共有（ ）
A A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对
C
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. H ⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁
Ｇ 内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两
B 直线平行.
【变式题组】
D
A 01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠ （已知） F
∴AC∥ED（ ） F E 1 ⑵∵∠C＝∠ （已知）
5
3 4 7 8 2 ∴AC∥ED（ ）
4 6 3 2 1 6 5 3 ⑶∵∠A＝∠ （已知） C B 2 D 1 ∴AB∥DF（ ） 4 02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明丙 甲 乙
A DE与AB的位置关系.
1 解：∵AD是∠BAC的平分线（已知） 03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A 3 ∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义） A．∠1和∠2是同旁内角 2 5 1 又∵EF平分∠DEC（已知） B．∠3和∠4是内错角 4 E
∴ C．∠5和∠6是同旁内角
6 7 C （ ） 2 D．∠5和∠7是同旁内角 B
又∵∠1＝∠2（已知） 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?
B C ∴ ⑴∠CBD＝∠ADB； D F A D （ ） ⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
∴AB∥DE（ ） ⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同O 旁内
B C
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD． 角，有“ ”即有内错角.
A B
E 【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，直线平行.
C D E
3
CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.
D
A E
02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,?，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5??那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3?Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10?则Sn＝ . 演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（ ） A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC C．∠ACF是α的余角 D．α与∠ACF互补
E
E A A A α M B
B C F
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个
l4 l4 l3
l3 l5 角小于31°.
l5 l2 l6 l2
l6
l1
l1
C D N B D F B C D 第4题图 F
第1题图 第2题图
02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为
（ ）
图⑵ 图⑴ A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END
03．下列语句中正确的是（ ）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，
B．过直线上一点的直线只有一条
此时的图形为图⑵.
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
D．垂线段就是点到直线的距离
则12331°＝372°＞360°
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（ ）
这与一周角等于360°矛盾
①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直 ③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段
所以这12个角中至少有一个角小于31°
AB的长度是点B到AC的距离 ⑤垂线段BA是点B到AC的距离 ⑥AD
【变式题组】
＞BD
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小
A．0 B． 2 C．4 D．6
于11°.
4
C