发布时间 : 星期四 文章高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解（5分）更新完毕开始阅读f40c417414791711cc791784
4134T5的系数?C7()2?70,当n?14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
27177?T8的系数?C14()2?3432。
2练：在(a?b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n2?1?Tn?1，也就是第
n?1项。
练：在(?x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 3xn?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于2解：只有第5项的二项式最大，则
1C86()2?7
2练：写出在(a?b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时
343434取得最大值，从而有T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。
n练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？
12012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，
11(?2x)12?()12(1?4x)12 22rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124????rr，化简得到9.4?r?10.4，又0?r?12，r?1r?1?Ar?1?Ar?2??C124?C1241101010?r?10，展开式中系数最大的项为T11,有T11?()12C124x?16896x10
2练：在(1?2x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr?1项最大，
rTr?1?C10?2rxr
rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得，化简得到?r?1r?1A?Ar?1?2(10?r)???r?1r?2?C102?C102,6.3?k?7.3，又0?r?10，?r?7，展开式中系数最大的项为
777T8?C102x?15360x7.
题型七：含有三项变两项；
例：求当(x2?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？
r解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，
1此时Tr?1?T2?C5所以x得一次Tr?1的展开式中才有x的一次项，(x2?2)43x，144项为C5C423x
144它的系数为C5C423?240。
解法②：
05145051455(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)
4554 故展开式中含x的项为C5xC52?C5x24?240x，故展开式中x的系数为240.
练：求式子(x?1?2)3的常数项？ x解：(x?116?2)3?(x?)，设第r?1项为常数项，则xx6?rrTr?1?C6(?1)rx(1r6?2rr，得6?2r?0,r?3, )?(?1)6C6xx3?T3?1?(?1)3C6??20.
题型八：两个二项式相乘；
例：求(1?2x)(1?x)展开式中x的系数. 解：
mm(1?2x)3的展开式的通项是C3?(2x)m?C3?2m?xm,
nnnn(1?x)4的展开式的通项是Cn?(?x)?C??1?x,其中m?0,1,2,3,n?0,1,2,3,4,44342
令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4
021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.
练：求(1?3x)(1?6110)展开式中的常数项. 4xmn4m?3n?110m3nmn412解：(1?x)(1? )展开式的通项为Cx?Cx?C?C?x6106104x36
?m?0,?m?3,?m?6,其中m?0,1,2,???,6,n?0,1,2,???,10,当且仅当4m?3n,即?或?或??n?0,?n?4,?n?8,
003468时得展开式中的常数项为C6?C10?C6?C10?C6?C10?4246.
练：
已知(1?x?x2)(x?解：
1n)的展开式中没有常数项,n?N*且2?n?8,则n?______. 3x(x?
1nrn?r?3rrn?4r)展开式的通项为C?x?x?C?x,通项分别与前面的三项相乘可得nn3xn?4rn?4r?1n?4r?2Cr,Cr,Cr,展开式中不含常数项,2?n?8 n?xn?xn?x?n?4r且n?4r?1且n?4r?2，即n?4,8且n?3,7且n?2,6,?n?5.
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：
在(x?2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x?2时,S?_____.
解：设(x?2)2006=a0?a1x1?a2x2?a3x3??a2006x2006-------① ?a2006x2006-------②
(?x?2)2006=a0?a1x1?a2x2?a3x3?①?②得2(a1x?a3x3?a5x5??a2005x2005)?(x?2)2006?(x?2)2006
1?(x?2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)?[(x?2)2006?(x?2)2006]
212当x?2时,S(2)?[(2?2)2006?(2?2)2006]??22题型十：赋值法；
3?20062??23008
n例：设二项式(33x?)的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若
1xp?s?272,则n等于多少？
n2n解：若(33x?)?a0?a1x?a2x?????anx，有P?a0?a1?????an，
1x0nS?Cn????Cn?2n，
nnnn 令x?1得P?4，又p?s?272,即4?2?272?(2?17)(2?16)?0解得
n
2n?16或2n??17(舍去)，?n?4.
?1?3x??练：若???的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
x???1?n3x??2?64，所以n?6，则展开解：令x?1，则?的展开式中各项系数之和为??x??式的常数项为C6(3x)?(?练：
33nn13)??540. xaa1a2?2?????2009的值为2222009若(1?2x)2009?a0?a1x1?a2x2?a3x3?
?a2009x2009(x?R),则a2009a2009aaa1a21,可得a0?1?2??????0,?????????a0 22009220092222222a2009aa???????1. 在令x?0可得a0?1,因而1?222009222解：令x?练：若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x1?a0,则a1?a2?a3?a4?a5?____. 解：令x?0得a0??32,令x?1得a0?a1?a2?a3?a4?a5??1,
?a1?a2?a3?a4?a5?31.
题型十一：整除性；
例：证明：32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除 证：32n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9
0n?11nn?12n1n?1?Cn?Cn?18?18?????Cn?18?Cn?18?Cn?1?8n?9 0n?11nn?12?Cn?Cn)?1?8n?9?18?18?????Cn?18?8(n?10n?11nn?12?Cn?Cn?18?18?????Cn?18
由于各项均能被64整除?32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除
1、(x－1)展开式中x的偶次项系数之和是
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