发布时间 : 星期六 文章高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解（5分）更新完毕开始阅读f40c417414791711cc791784
1?(x?2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)?[(x?2)2006?(x?2)2006]
212当x?2时,S(2)?[(2?2)2006?(2?2)2006]??22题型十：赋值法；
3?20062??23008
例：设二项式(33x?)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若
1xp?s?272,则n等于多少？
解：若(33x?)n?a0?a1x?a2x2?????anxn，有P?a0?a1?????an，
0nS?Cn????Cn?2n，
1x 令x?1得P?4，又p?s?272,即4n?2n?272?(2n?17)(2n?16)?0解得
n2n?16或2n??17(舍去)，?n?4.
?1?3x??练：若???的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
x???1?n3x??解：令x?1，则???的展开式中各项系数之和为2?64，所以n?6，则展开
x??式的常数项为C6(3x)?(?练：
33nn13)??540. xaa1a2?2?????2009的值为2009222若(1?2x)2009?a0?a1x1?a2x2?a3x3?
?a2009x2009(x?R),则a2009a2009aaa1a21,可得a0?1?2??????0,?????????a0 22222200922222009a2009aa???????1. 在令x?0可得a0?1,因而1?222222009解：令x?练：若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x1?a0,则a1?a2?a3?a4?a5?____. 解：令x?0得a0??32,令x?1得a0?a1?a2?a3?a4?a5??1,
?a1?a2?a3?a4?a5?31.
题型十一：整除性；
例：证明：32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除
证：32n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9
0n?11nn?12n1n?1?Cn8?C8?????C8?C8?C?1n?1n?1n?1n?1?8n?9 0n?11nn?12?Cn?Cn)?1?8n?9?18?18?????Cn?18?8(n?10n?11nn?12?Cn?Cn?18?18?????Cn?18
由于各项均能被64整除?32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除
1、(x－1)展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1), 偶次项系数之和是
11
11
f(1)?f(?1)?(?2)11/2??1024
2122nn2、C0n?3Cn?3Cn???3Cn? 2、
2、4 3、(35?n
120)的展开式中的有理项是展开式的第 项 53、3,9,15,21
4、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是
5
4、(2x-1)展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)展开式系数之和，故令x=1，则
5
所求和为3 55
5、求(1+x+x)(1-x)展开式中x的系数 2104
5、(1?x?x)(1?x)2109
必须第一个因式中的1与(1-x)?(1?x3)(1?x)9,要得到含x4的项，
4展开式中的项C9(?x)4作积，第一个因式中的－x与(1-x)展开式中的项C19(?x)作积，故
3
9
4x的系数是C19?C9?135 4
6、求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数 2103
(1?x)[1?(1?x)10](x?1)11?(x?1)36、(1?x)?(1?x)??=，原式中x（1?x）?x1?(1?x)210实为这分子中的x，则所求系数为C11 4
7
7、若f(x)?(1?x)m?(1?x)n(m?n?N)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x的系数最小？
2227、由条件得m+n=21，x的项为C2mx?Cnx，则Cm?Cn?(n?2
2
22212399)?.因n∈N，242
故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x的系数最小
8、自然数n为偶数时，求证：
234n?1n?1 1?2C1 ?Cnn?Cn?2Cn?Cn???2Cnn?3?212n?1n135n?1nn?1n?18、原式=(C0 ?C?C???C?C)?(C?C?C???C)?2?2?3.2nnnnnnnnn9、求80被9除的余数 1101109、 8011?(81?1)11?C118111?C118110???C1181?1?81k?1(k?Z),
∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余8 1110、在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 25
10、(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5
在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C1在(2+x)展开式中，常数项为2=32，5?5x，
5
5
5
4含x的项为C152x?80x
∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x，此展开式中x的系数为240 11、求(2x+1)展开式中系数最大的项 11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有
12
rr?1r12?rr?113?r?C?2C?C122?C2121212 ?r12?rr?111?r??rr?1 C2?C122C?C12?1212?12 ?311?r?4,?r?4 33444∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C12x?7920x
二、典型例题
1??例1 在二项式?x??的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有
42x??理项．
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为：
n?r?1?r1Tr?1?Cr(x)?C??nnrx422x??r2n?3r4n
前三项的r?0,1,2.
1得系数为：t1?1,t2?Cn由已知：2t2?t1?t3∴n?8 通项公式为
1111?n,t3?C2?n(n?1)， n22481n?1?n(n?1)，
81Tr?1?Crx2r816?3r4r?0,1,2?8,Tr?1为有理项，故16?3r是4的倍数，
∴r?0,4,8.
44依次得到有理项为T1?x,T5?C81351281?2x?x,T?Cx?x． 9882482256说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，(2?33)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页
系数和为3n．
典型例题二
例4 （1）求(1?x)(1?x)展开式中x的系数；（2）求(x?31051?2)6展开式中的常x数项．
分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．
解：（1）(1?x)(1?x)展开式中的x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
55用(1?x)展开式中的常数项乘以(1?x)展开式中的x项，可以得到C10x；用
31053105