发布时间 : 星期日 文章1999考研数二真题及解析更新完毕开始阅读f40f55c951e79b89680226cf
Born to wi
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)
t??x?esin2t(1) 曲线?，在点?0,1??处的法线方程为 t??y?ecost23(2) 设函数y?y?x?由方程lnx?y?xy?sinx确定，则
??dydx?
x?0(3)
x?5?x2?6x?13dx? (4) 函数y?x2?x2在区间?,?13??上的平均值为
?22?(5) 微分方程y???4y?e2x的通解为
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
?1?cosx,??x?0?x(1) 设f(x)??，其中g?x?是有界函数，则f(x)在x?0处 ( ) ?x2g?x?,???x?0?(A) 极限不存在.
(B) 极限存在，但不连续. (C) 连续，但不可导. (D) 可导. (2) 设??x???5x01sinxsintdt,???x????1?t?tdt，则当x?0时??x?是??x?的 ( )
0t(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 (3) 设f(x)是连续函数，F?x?是f(x)的原函数，则 ( )
(A) 当f(x)是奇函数时，F?x?必是偶函数. (B) 当f(x)是偶函数时，F?x?必是奇函数. (C) 当f(x)是周期函数时，F?x?必是周期函数. (D) 当f(x)是单调增函数时，F?x?必是单调增函数.
(4) “对任意给定的???0,1总存在正整数N，当n?N时，恒有xn?a?2?”是数列?xn???，
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收敛于a的 ( )
(A)充分条件但非必要条件. (B)必要条件但非充分条件. (C)充分必要条件. (D)既非充分条件又非必要条件.
x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?3(5)记行列式为f?x?，则方程f?x??0的根的个数为( )
3x?33x?24x?53x?54x4x?35x?74x?3(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
三、(本题满分5分)
求 limx?01?tanx??1sxin. 2xln?1?x??xarctaxndx. x2四、(本题满分6分)
计算
???1五、(本题满分7分)
?y?x2?y2dx?xdy?0(x?0)?求初值问题 ?的解.
??yx?1?0六、(本题满分7分)
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N, 缆绳每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：①1N?1m?1J;其中m,N,s,J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)
七、(本题满分8分)
已知函数y???x3?x?1?2，求
(1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线.
八、(本题满分8分)
设函数f?x?在闭区间??1,1?上具有三阶连续导数，且f??1??0，f?1??1，
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f??0??0，证明：在开区间??1,1?内至少存在一点?，使f???????3.
九、(本题满分9分)
设函数y?x??x?0?二阶可导，且y??x??0，y?0??1.过曲线y?y?x?上任意一点
P?x,?y?作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，
区间?0,?x?上以y?y?x?为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1?S2恒为1，求此曲线
y?y?x?的方程.
十、(本题满分6分)
设f?x?是区间?0,????上单调减少且非负的连续函数，an??f?k???f?x?dx
i?11nn?n?1,2,?，证明数列?an?的极限存在.
十一、(本题满分8分)
?11?1???1?，矩阵X满足A*X?A?1?2X，其中A*是A的伴随矩阵，设矩阵A???11?1?11???求矩阵X.
十二、(本题满分5分)
?2???1,?3,5,1?，?3??3,2,?1,p?2?，?4???2,?6,10,p? 设向量组?1??1,1,1,3?，
(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量???4,1,6,10?用?1,??2,???,??4线性表出；
(2)p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
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1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析
一、填空题
(1)【答案】y?2x?1?0
【详解】点?0,1??对应t?0，则曲线在点?0,1??的切线斜率为
dydydtetcost?etsintcost?sint， ??t?dxdxesin2t?2etcos2tsin2t?2cos2tdtdy1?，所以改点处法线斜率为?2，故所求法线方程为y?2x?1?0. 把t?0代入得
dx2
(2)【答案】1
23【详解】y(x)是有方程lnx?y?xy?sinx所确定，所以当x?0时，y?1.
??23对方程lnx?y?xy?sinx两边非别对x求导，得
??2x?y??3x2y?x3y??cosx， 2x?y把x?0和y?1代入得y?(0)?
(3)【答案】
dydx?1
x?01x?3ln(x2?6x?13)?4arctan?C 22【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即
x?5x?38dx?dx??x2?6x?13?x2?6x?13?x2?6x?13dx
1d(x2?6x?13)8??2??dx 22x?6x?13(x?3）?4x?3）122 ?ln(x?6x?13)?4?x?322(）?121x?3?ln(x2?6x?13)?4arctan?C 22d(