发布时间 : 星期日 文章新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率2第2讲排列与组合教学案更新完毕开始阅读f42a6d6cc67da26925c52cc58bd63186bdeb9291
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与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．
甲、乙两人从4门课程中各选修2门，
求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C4C2C2＝24(种)．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C4C4，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C4种，因此满足条件的不同选法种数为C4C4－C4＝30(种)．
排列、组合的综合应用(高频考点)
排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．主要命题角度有：
(1)相邻、相间问题； (2)分组、分配问题； (3)特殊元素(位置)问题． 角度一 相邻、相间问题
(2020·杭州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人
必须相邻，则满足要求的排法有( )
A．34种 C．96种
B．48种 D．144种
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【解析】 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C2种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C2A4A2＝96(种)，故选C.
【答案】 C
角度二 分组、分配问题
从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服
务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
【解析】 分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C8－C6＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A4＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．
【答案】 660
角度三 特殊元素(位置)问题
(2020·台州市书生中学高三期中)在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，
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其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________．
【解析】 ①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C2C3A3＝36种．②若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C2A2A3＝24种．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.
【答案】 60
解排列、组合综合应用问题的思路
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1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 C．24种
B．18种 D．36种
解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人C4C2C1
完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有2＝6种，
A2再分配给3个人，有A3＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．
2．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C3种分法，再分给4人有C3A4种分法，所以不同获奖情况种数为A4＋C3A4＝24＋36＝60.
答案：60
3．(2020·浙江东阳中学高三期中检测)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则组成的偶数的个数是________；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________．
解析：由五个数组成五位偶数，可分类个位数放0，2，4；当个位是0时，有A4＝24
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种，当个位是2时，有3A3＝18种，当个位是4时与个位是2时相同，则共有24＋36＝60种．当1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看做一个整体，和另外两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有2A3＝12种，1和3两个奇数夹着2时，同前面类似，只是注意0不能放在首位，共有2C2A2＝8种，当1和3两个奇数夹着4时，也有同样多的结果．根据分类加法计数原理得到共有12＋16＝28种结果．
答案：60 28
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核心素养系列21 逻辑推理、数学运算——分组分配问题中的易错点
分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不容易得分，在解题过程中容易掉入陷阱．
解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．
一、整体均分问题
国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范
生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
C6C4C2
【解析】 先把6个毕业生平均分成3组，有3种方法，再将3组毕业生分到3所
A3
C6C4C23
学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有3A3＝90种分配方法．
A3
33
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222
【答案】 90
对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以An(n为均分的组数)，避免重复计数．
二、部分均分问题
将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以
选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．
【解析】 先将5人分成三组(1，1，3或2，2，1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有C5C3C1?34C3?C5C22
·A3·C4＝900种． ?A2＋A2?2??
【答案】 900
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本题属于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
三、不等分组问题
将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人
得3本，则有________种不同的分法．
【解析】 先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C6种选法；再从余下的5本中选2本，有C5种选法；最后余下3本全选，有C3种选法．故共有C6·C5·C3＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A3＝360种分配方法．
【答案】 360
对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时，任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
总之，在解答分组问题时，一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏，抓住了以上关键点，就能避免掉进陷阱．
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[基础题组练]
1．不等式A8＜6×A8的解集为( ) A．[2，8] C．(7，12)
B．[2，6] D．{8}
xx－2
8！8！2解析：选D.由题意得＜6×，所以x－19x＋84＜0，解得7＜x（8－x）！（10－x）！＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N，即x＝8.
2．(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图，一环形花坛分成A，B，
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C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2
块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A．96 C．60
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B．84 D．48
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解析：选B.法一：分三类：种两种花有A4种种法；种三种花有2A4种种法；种四种花有A4种种法．
共有A4＋2A4＋A4＝84.
法二：按A－B－C－D顺序种花，可分A，C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.
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