发布时间 : 星期六 文章线性代数-例题与习题 - 图文更新完毕开始阅读f449924ec850ad02de8041e8
第三章 矩阵的初等变换和线性方程组
? 要点和公式 ? - PART I -
1. 初等变换
? 三类初等变换(初等行变换、初等列变换) ①对换变换：ri?rj或ci?cj ②倍乘变换：ri?k或ci?k (k?0) ③倍加变换：ri?krj或ci?kcj ? 初等变换都是可逆的，
① ri ? rj (ci ? cj) 的逆变换为ri ? rj (ci ? cj) ② ri ? k (ci ? k) 的逆变换为ri ? k (ci ? k) ③ ri + krj (ci + kcj) 的逆变换为ri - krj (ci - kcj) ? 对于任一给定的矩阵Am?n，都有
A ??仅作初等行变换?????? 行阶梯形矩阵 (其形式不唯一) ??仅作初等行变换?????? 行最简形矩阵 (其形式唯一) ??初等行??,列变换??? A的标准形 (其形式唯一)
? 若A 初等行变换???? B行等价，记作A rm?n??m?n，则称A和B~ B
若A 初等列变换A和B列等价，记作A cm?n?????? Bm?n，则称~ B 若A m?n??初等变换???? Bm?n，则称A和B等价，记作A ~ B 注：等价的矩阵必同型，但同型的矩阵不一定等价. ? 等价关系的性质： ①反身性：A~A
②对称性：若A~B，则B~A ③传递性：若A~B，B~C，则A~C
2. 初等矩阵 ? 三类初等矩阵
对单位矩阵E作一次初等变换，所得到的矩阵称为初等矩阵. ①初等对换矩阵：相应的初等变换为ri?rj或ci?cj
(i)
(j)
??1???????1????01?(i) ?1?E(i,j)?????? ?1????10???(j) ?1???????1??
②初等倍乘矩阵：相应的初等变换为ri?k或ci?k (k?0)
(i)
??1??????E(i(k))??1????k? ( i)
?1?????????1??③初等倍加矩阵：相应的初等变换为ri?krj或cj?kci
(i)
(j)
??1??????1k?E(ij(k))????(i)
??? ?1???(j)
??????1??? 初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵分别为
①E(i,j)?1?E(i,j) ②E(i(k))?1?E(i(1k))
③E(ij(k))?1?E(ij(?k)) 3. 初等变换和初等矩阵的应用
? 在矩阵Am?n的左边乘以m阶初等矩阵，相当于对A作相应的初等行变换；在矩阵Am?n的右边乘以n阶初等矩阵，相当于对A作相应的初等列变换.
? A可逆 ? A可以表示成若干初等矩阵的乘积
A可逆 ? A r~ E(或A c~ E) ? A r~ B ? 存在可逆矩阵P，使得PA=B
A c~ B ? 存在可逆矩阵Q，使得AQ=B
A ~ B ? 存在可逆矩阵P和Q，使得 PAQ=B
? 若A为可逆矩阵，则
(A,E) ??仅用初等行变换?????? (E,A?1)；
??A?仅用初等列变换?E??????E???????????A?1??； ?? 若A为可逆矩阵，则
(A,B) ??仅用初等行变换?????? (E,A?1B)；
??A??仅用初等列变换B????????????E??BA?1?????. ?4. 分块初等变换和分块初等矩阵 ? 三类分块初等变换
①分块对换变换：对换两行(或两列)子块
②分块倍乘变换：用可逆矩阵P左乘某行(或右乘某列)子块
③分块倍加变换：用矩阵C左乘某行子块并加至另一行
(或右乘某列子块并加至另一列)
? 三类分块初等矩阵(以2?2分块矩阵为例) 分块单位矩阵??EmO??E? ?一次分块初等变换???????? 分块初等矩阵 ?On??①分块对换矩阵：??OE?n??或??OE?Em?m?O???EnO?? ?②分块倍乘矩阵：??P?1O??EmO??OE??或??n??OP?2? ?(其中P1, P2分别是m阶和n阶可逆矩阵)
③分块倍加矩阵：??EmO???EmC2???C1E??或???OE?n?
n?(其中C1, C2分别是n?m和m?n矩阵)
? 分块初等矩阵都是可逆矩阵.
? 用分块初等矩阵左乘(或右乘)一个分块矩阵 A，在可乘的情况下，其作用是对A施行一次相应的分块初等行变换(或列变换).
5. 矩阵的秩
? 若矩阵A存在有r阶非零子式，并且所有的r+1阶子式(如果有的话)都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为r. ? 定义：矩阵A的秩= A的非零子式的最高阶数，记作R(A) 注：根据定义，①如果A有某个k阶子式不等于零，则R(A)?k；如果A所有的k阶子式都等于零，则R(A) ? 行阶梯形矩阵 (或行最简形矩阵、标准形) 的秩 = 非零行的行数 ? n阶方阵A可逆 ? R(A)=n [等价命题]：n阶方阵A不可逆 ? R(A) 注：可逆矩阵又称满秩矩阵；不可逆的方阵又称降秩矩阵. ? 初等行变换和初等列变换都不会改变矩阵的秩 注：此定理可表述为：“等价的矩阵必等秩”；但是等秩的矩阵只 有在同型时才等价. ? 若矩阵A?EO?m?n的秩为r，则A的标准形为??r?OO?? ?m?n 6. 矩阵的秩的性质 ① 0?R(Am?n)?min{m,n} ② R(A)?R(AT) ③ 若A~B，则R(A)=R(B) (即，初等行变换和初等列变换都不会改变矩阵的秩) ④ 若P, Q可逆，则R(PAQ) = R(PA) = R(AQ ) = R(A) 注：根据此性质，有R(-A) = R(A ) ⑤ R(A)?R(B)?R??AO??OB????R?AC??OB???? ??⑥ max{R(A),R(B)}?R(A,B)?R(A)?R(B) max{R(A),R(B)}?R??A??B???R(A)?R(B)?? 注：此性质可表述为 ? 分块矩阵的秩 ? 任意子块的秩， 分块矩阵的秩 ? 所有子块的秩的和 ⑦ R(A?B)?R(A)?R(B) ⑧ R(A)?R(B)?n?R(Am?nBn?s)?min{R(A),R(B)} (其中n是A的列数，也是B的行数) ⑨ 若Am?nBn?s=O，则R(A)?R(B)?n ?n, ?R(A)?n⑩ 设A为n阶(n?2)方阵，则R(A*)??? 1, ?R(A)?n?1 ??0, ?R(A)?n?1 (性质⑤~⑩的证明见Part II-附录) 7. 线性方程组的解的判定条件 ? 对于非齐次线性方程组Am?nx?b， ① 有解 ? R(A)?R(A,b)； [等价命题] 无解 ? R(A)?R(A,b) ② 有唯一解 ? R(A)?R(A,b)?n ③ 有无穷多解 ? R(A)?R(A,b)?n ? 对于齐次线性方程组Am?nx?O， ① 只有零解 ? R(A)?n ② 有非零解 ? R(A)?n 8. 矩阵方程的解的判定条件 ? 对于矩阵方程Am?nXn?s?Bm?s， ① 有解 ? R(A)?R(A,B)； [等价命题] 无解 ? R(A)?R(A,B) ② 有唯一解 ? R(A)?R(A,B)?n ③ 有无穷多解 ? R(A)?R(A,B)?n ? 对于矩阵方程Am?nXn?s?Om?s， ① 只有零解(X=O) ? R(A)?n ② 有非零解(X?O) ? R(A)?n 9. 可逆矩阵的判定条件的小结 ? 对于n阶方阵A，以下条件等价(即互为充分必要条件)： ① A是可逆矩阵(即非奇异矩阵、满秩矩阵) ② 存在n阶方阵B，使得AB=E ③ A?0 ④ R(A)?n ⑤ A可表示为若干初等矩阵(或可逆矩阵)的乘积 ⑥ A r~E (即，A的行最简形、标准形是单位矩阵E) ⑦ 齐次线性方程组Ax=O只有零解 ? 对于n阶方阵A，以下条件等价： ① A是不可逆方阵 (即奇异矩阵、降秩矩阵)； ② 任何n阶方阵B，都不能使AB=E ③ A?0 ④ R(A)?n ⑤ A不能分解为初等矩阵的乘积 ⑥ A的行最简形、标准形不是单位矩阵E ⑦ 齐次线性方程组Ax=O有非零解 - PART II 附录：矩阵秩的性质⑤~⑩的证明 性质① 0?R(Am?n)?min{m,n} 性质② R(A)?R(AT) 性质③ 若A~B，则R(A)=R(B) 性质④ 若P, Q可逆，则R(PAQ) = R(PA) = R(AQ ) = R(A) 性质⑤ R(A)?R(B)?R??AO??OB????R?AC??OB???? ??[证] 设R(A) = r, R(B) = s，则A和B的标准形分别为 F?EO?O?1???rOO??，F?Es??2????OO?? ?(i) 在分块矩阵??AO??OB??中将 A, B 化为标准形F1, F2. ??(对A所在行,列作初等变换，将A化为标准形F1，这不会影响B；对B所在行,列作初等变换，将B化为标准形F2，这不会影响A.) ?OOO?于是，??AO??O??ErOOO???OB?? ~ ?F???1?OF??=?O2???OOEO? ?s?OOOO????OOO?r?Er2?r2?OEsOO??c2?c3??OOOO?(分块矩阵的初等变换) ??OOOO???[分块初等变换相当于对分块矩阵左乘(或右乘)相应的分块初等矩阵，而分块初等矩阵是可逆矩阵，根据性质④可知：分块初等变换不会改变矩阵的秩] 由于分块初等变换不改变矩阵的秩，由上式可得 R??AO??OB???r?s?R(A)?R(B) ??(ii) 在??AC??OB??中将 A, B 化为标准形F1, F与此同时，子块C 也??2， 会发生变化，设C被化成M，则 ?ErOM11M12???AC???FM??OM?21M?22??OB??? ~ ?1?OF?=?O2????OOEO? ?s?OOOO?????ErOOO?c3?c1?M11?OOMM??2122?c4?c1?M12?OOEO? ?s?OOOO????ErOOO?rr?2?M21?3?OOOM??22??OOEsO? ??OOOO?????ErOOO?c2?c4?OM?22OO???OOE?sO? ?OOOO???利用(i)的结论，有 R??AC??OB???r?s?R(M22)?r?s?R(A)?R(B) ??即，R??AC??OB???R(A)?R(B) ? ??性质⑥ max{R(A),R(B)}?R(A,B)?R(A)?R(B) max{R(A),R(B)}?R??A??B???R(A)?R(B)?? [证] 两个式子的证法类似，下面仅证明第一式. (i) A 的最高阶非零子式必定是(A, B)的一个非零子式，(但不一定是最高阶非零子式)，根据矩阵秩的定义，有R(A)?R(A,B). 同理R(B)?R(A,B) 结合以上两式，得 max{R(A),R(B)}?R(A,B) (ii) 根据(i)的证明过程知：分块矩阵中任一子块的秩 ? 分块矩阵的秩，故 R(A,B)?R??AB???OB??? 又，??AB?r??1?r2 OB??AO??????OB?，于是 ??R(A,B)?R??AB??AO?性质5?OB????????OB???R(A)?R(B) 即，R(A,B)?R(A)?R(B) ? 性质⑦ R(A?B)?R(A)?R(B) [证] 根据性质⑥，有 R(A?B)?R??A?BB??B?? ?B? 又，??A?BB?r??1?r2BB??AO????c1?c2??OB??，于是 ?R(A?B)?R??A?BB??????AO??性质5?BB????OB??R(A)?R(B) 即，R(A?B)?R(A)?R(B) ? 性质⑧ R(A)?R(B)?n?R(Am?nBn?s)?min{R(A),R(B)} [证] (i) 根据性质⑤，有 R(A)?R(B)?R ??Bn?sE??n?OA? m?n??又，??BE??n??r2?A?r1?OEn?r1?r??2?ABO??OA??c1?c2?B??ABO???(?Em)?r1?OE??n? ?于是，R(A)?R(B)?R ??BE?n??ABO?OA?????性质5????OER(AB)?R(En??n) ?R(AB)?n