发布时间 : 星期六 文章线性代数-例题与习题 - 图文更新完毕开始阅读f449924ec850ad02de8041e8
R(A)?R(A,b)?1?4，有无穷多解，通解的求法与解一相同。 [注] 解一是对含有参数的增广矩阵作初等行变换，然后讨论矩阵的秩并判断方程组的解，缺点是较繁琐； 解二先根据克拉默法则确定参数的取值范围，再讨论解的情况，缺点是只适用于系数矩阵是方阵的方程组(即方程个数=未知量个数). ?x1?3x2?2x3 ?x4?1?[练习22] 设线性方程组? x2??x3??x4??1
?x?2x ?3x?324?1? c1 = c2 = … = cm= 0， 即，Ax0=O 故ATAx=O的解必是Ax=O解. 综上所述，ATAx=O和Ax=O是同解方程组 练习20 设A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且R(A)=n， 证明：线性方程组ABx=O和Bx=O同解.
[提示] 设ABx0=O，则，列矩阵Bx0是齐次线性方程组Ay=O的解. 又因为R(A)=n，Ay=O只有零解，于是Bx0=O. 即，ABx=O的解必是Bx=O的解.
另外，易证Bx=O的解也必是ABx=O.
问?为何值时，有解？在有解时，求出其通解.
77??10?4?[答案] (A,b)~?012?2?2?
?00??22??1???r?当?=2时，R(A)=2, R(A,b)=3，无解；
当??-2时，R(A)= R(A,b)=3<4，有无穷多组解，通解为
?x1??(7??10)/(??2)???3????????x2??2(1??)/(??2)??0??x?????k?1?(k为任意常数) 1/(??2)?3???????1??x??0????4???a11a12?a?a例38设矩阵A=?2122????a?n1an2且A和C的秩相等， ?????a11a12?a1n???a21a22a2n?，C?????????an1an2ann????b1b2?????a1nb1??a2nb2????，?annbn??bnk?
?(??3)x1 ?x2 ?2x3???[练习23] 设线性方程组? ?x1?(??1)x2 ?x3??
?3(??1)x ??x?(??3)x?3123?问：? 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时求出通解。 [答案] A??2(??1)，
当??0且??1时，方程组有唯一解；
当??0时，R(A)?2?R(A,b)?3，方程组无解；
当??1时，R(A)?R(A,b)?2?3，方程组无穷多解，通解为
?a11??a证明：线性方程组?21???a?n1a12a22?an2?a1n??x1??b1???????a2n??x2??b2?有解. ????????????????????ann???xn??bn?证 将矩阵C按如下方式分块： ?a11??a21C?????an1??b1a12a22?an2b2?a1n?a2n???ann?bnb1??b2?记作?A????bT??bn??k?b?? k???x1??1???1???????x??x2????3??k?2? (k为任意常数) ?x??0??1??3?????
⑶ 和线性方程组有关的证明
例37 设Am?n是实矩阵，证明线性方程组Ax=O与ATAx=O同解. [分析] 若能证明Ax=O的解必是AAx=O解，并且AAx=O的解也必是Ax=O的解，则两个方程组同解. 证 设x0是Ax=O的一个解. 对Ax0=O两边左乘AT，得ATAx0=O. 故Ax=O的解必是ATAx=O的解. 设x0是ATAx=O的一个解，对ATAx0=O两边左乘x0，得x0AAx0=0，即(Ax0)Ax0=0 (注意，结果是数0) ?c1????c2?Ax0是m?1列矩阵，不妨设Ax0???，则 ????c??m?TT TTT因为R(A)= R(C)，利用分块矩阵的秩的性质，有 ?AR(A)= R(C)?R??bT? b???R(A,b)?R(A) k??得R(A)= R(A, b)，故线性方程组Ax=b有解. [练习24] 设A(n+1)?nx=b是有n+1个方程n个未知量的非齐次线性方程组，证明：若方程组有解，则方程组增广矩阵的行列式?A, b?=0. [提示] Ax=b有解 ? R(A)=R(A, b)
于是，R(A,b)=R(A) ? A的列数n < A的行数n+1
T? n+1阶方阵(A, b)是降秩矩阵
例39 设两个n元齐次线性方程组为 (Ax0) TAx0 = c1+c2+…+cm= 0 222 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0?b11x1?b12x2???b1nxn?0???a21x1?a22x2???a2nxn?0?bx?bx???b2nxn?0(I)? (II)?211222 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????am1x1?am2x2???amnxn?0?bs1x1?bs2x2???bsnxn?0如果这两个方程组的系数矩阵A与B的秩都小于n/2，试证明：这两个方程组必有非零公共解 [分析] 要证明(I)和(II)有非零公共解，就是要证明(I)(II)共同构成的含m+s个方程n个未知量的方程组有非零解. 证 记方程组(I),(II)为Am?nx=O和Bs?nx=O，则(I)(II)共同构成的方程组为 7 矩阵方程AX=B和XA=B
⑴ AX=B和XA=B (其中A是可逆矩阵)
▌对于矩阵方程AX=B，若A可逆，则X=A-1B. A-1B可用如下方法求出
(A,B) ???????? (E,A?1B)
仅用初等行变换?A??O????x??B??O?? (III) ????▌对于矩阵方程XA=B，若A可逆，则X=BA-1. BA-1可用如下方法求出
?A??A??A?nn由于R?即??B???R(A)?R(B)?2?2?n，?B??的秩
T
?A?仅用初等列变换?E??????B?????????BA?1?? ????或者，利用转置将XA=B变成AX=B，然后用初等行变换解出
TT
T
?a1??例40 设n阶对角矩阵A???????1??明：对于任意的对角矩阵Λ?????a2????，其中ai?aj (i?j)，证??an??????，都一定存在唯一???n???100??4?5?????例41 设A??0?1?1?，求矩阵X使其满足AX=B. B??12?，?012??23?????[分析] 构造分块矩阵(A,B)，并将其化为行最简形，如果行最简形r-1具有(E,M)的形式，则表明A ~E，即A可逆，从而M=AB(矩阵方程的解) ?2的次数不超过(n-1)次的多项式f(x)，使得f(A)=?. [分析] 对角阵A =diag(a1, a2, …, an)的多项式为 ?f(a1)???f(a2)??f(A)= ?? ?????f(a)n???1004?5?r?1004?5?????-1解 (A, B)??0?1?112?~ ?010?4?7?=(E, AB) ?01223??00135??????4?5????X?A?1B???4?7?. ?35??? ?300????412?例42 设A??011?，B??求X使其满足XA=B. ??523??，???0?14???于是f(A)=?可转变成非齐次线性方程组，只需证明该方程组有唯一解即可. 证 设f(x)=c0+c1x+c2x+…+cn-1x2n-1. ???? ???n???f(a1)???1???f(a2)???f(A)=? ? ??????????f(an)?????A??E???[分析] 构造分块矩阵?，并作初等列变换，若能化成?B??M??的形?????2式，则A ~E，即A可逆，从而M=BA-1(矩阵方程的解). 0?3?1?0?A??解一 ??B????0?1???41???520??10??1??01c4?~ ?00??2??4?4??3???5?70??0??E?? 1?????BA?1??3???5?c? f(ai)= ?i (i=1,2,…,n) 上式是以c0, c1, c2, …, cn-1为未知量的非齐次线性方程组，即 2n?1?c0?c1a1?c2a1???cn?1a1??1?2n?1???cn?1a2??2?c0?c1a2?c2a2 (*) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??c?ca?ca2???can?1??2nn?1nn?01n?4?43??X?BA?1????5?75??. ??解二 XA=B ? AX=B TTT11其系数行列式D??12a1a12a2a2??2anann?1?a1n?1?a2??(ai?aj) ??1?j?i?nn?1?an?3004?5?r?1004?5?????T?1T(A, B)??01?112?~ ?010?4?7??E,(A) B ?01423??00135?????TT??由于ai?aj (i?j)，故D?0，根据克拉默法则，方程组(*)有唯一解，即，存在唯一的次数不超过(n-1)次的多项式f(x)，使得f(A)=?.
? X T?4?5????4?43??(A)B???4?7? ? X????5?75?? ???3?5??T?1T