发布时间 : 星期二 文章2013 江苏省盐城市2013年中考数学试卷及答案(Word解析版)更新完毕开始阅读f493a6cd33d4b14e8524683f
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中． 27．（12分）（2013?盐城）阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD． 解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论； （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出
的值（用含α的式子表示出来）
考点： 几何变换综合题 分析： （1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD； （2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为； ．
（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan解答： 解：（1）猜想：BF=CD．理由如下： 如答图②所示，连接OC、OD． 因为△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点， 所以OB=OC，∠BOC=90°． 因为△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点， 所以OF=OD，∠DOF=90°． 因为∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， 所以∠BOF=∠COD． 因为在△BOF与△COD中， 所以△BOF≌△COD（SAS）， 所以BF=CD． （2）答：（1）中的结论不成立． 如答图③所示，连接OC、OD． 因为△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点， 所以=tan30°=，∠BOC=90°． 因为△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点， 所以所以=tan30°===． ，∠DOF=90°． 因为∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， 所以∠BOF=∠COD． 在△BOF与△COD中， 因为==，∠BOF=∠COD， 所以△BOF∽△COD， 所以=． （3）如答图④所示，连接OC、OD． 因为△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点， 所以=tan，∠BOC=90°． 因为△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点， 所以所以=tan=，∠DOF=90°． =tan． 因为∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， 所以∠BOF=∠COD． 在△BOF与△COD中， 因为==tan，∠BOF=∠COD， 所以△BOF∽△COD， 所以=tan． 点评： 本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究． 28．（12分）（2013?盐城）如图①，若二次函数y=
x+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）
2
两点，点A关于正比例函数y=x的图象的对称点为C． （1）求b、c的值；
（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题 分析： （1）利用待定系数法求出b，c的值； （2）如答图1所示，关键是求出点C的坐标．首先求出直线y=x与x轴所夹锐角为60°，则可推出在Rt△CEK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出点C的坐标； （3）如答图2所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值． 解答： 2解：（1）因为点A（﹣2，0），B（3，0）在抛物线y=x+bx+c上， 所以， 解得：b=﹣，c=﹣． （2）设点F在直线y=x上，且F（2，）． 如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH=所以tan∠FOB==，所以∠FOB=60°． ，OH=2， 所以∠AOE=∠FOB=60°． 连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K． 因为点A、C关于y=x对称，所以OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°． 所以∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°． 在Rt△COK中，CK=OC?sin60°=2×所以C（1，﹣）． x﹣2=，OK=OC?cos60°=2×=1． 抛物线的解析式为：y=x﹣，当x=1时，y=﹣， 所以点C在所求二次函数的图象上． （3）假设存在． 如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC=如答图2所示，因为OB=3，所以BD=3在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=因为点A、C关于y=所以CD=AD=2x对称， ． ，AB=OA+OB=5． ==2． ==． ，∠DAC=∠DCA，AE=CE=AC=连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE． 在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°，（四边形内角和等于360°） 即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°， 所以∠DAC+∠APE+∠CQE=180°． 又因为∠DAC+∠APE+∠AEP=180°，（三角形内角和定理） 所以∠AEP=∠CQE． 在△APE与△CEQ中，因为∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE， 所以△APE∽△CEQ， 所以，即：，