发布时间 : 星期四 文章(浙江专用)2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案更新完毕开始阅读f4d145b15bcfa1c7aa00b52acfc789eb162d9e3f
2019年
所以PD∥OE. 又AC∩BD＝O，
所以O是BD的中点，所以E是PB的中点． 因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°， 所以取AD的中点H，连接BH，可知BH⊥AD， 又因为PD⊥平面ABCD，BH?平面ABCD， 所以PD⊥BH.
又PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD， 所以BH⊥平面PAD.
在等边三角形ABD中，由于AB＝a，所以BH＝
3a. 2
1133
因此点E到平面PAD的距离d＝BH＝×a＝a，
2224
111333
所以VP－EAD＝VE－PAD＝S△PAD×d＝××a×2a×a＝a＝183.
332412解得a＝6.
思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a. 跟踪演练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD； (2)求证：CE∥平面PAD.
证明 (1)取BD的中点O，连接CO，PO，
因为CD＝CB，
2019年
所以△CBD为等腰三角形， 所以BD⊥CO. 因为PB＝PD，
所以△PBD为等腰三角形， 所以BD⊥PO.
又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO， 所以BD⊥平面PCO.
因为PC?平面PCO，所以PC⊥BD.
(2)由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，
又EO?平面PAD，PD?平面PAD， 所以EO∥平面PAD.
由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD， 又CO?平面PAD，AD?平面PAD， 所以CO∥平面PAD.
又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE， 所以平面CEO∥平面PAD，
而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD. 热点三 平面图形的翻折问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．
例3 如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示．
(1)求证：DE⊥平面PCF；
2019年
(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；
(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明 折叠前，因为四边形AECD为菱形， 所以AC⊥DE，
所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF， 又PF∩CF＝F，PF，CF?平面PCF， 所以DE⊥平面PCF.
(2)证明 因为四边形AECD为菱形， 所以DC∥AE，DC＝AE.
又点E为AB的中点，所以DC∥EB，DC＝EB， 所以四边形DEBC为平行四边形，所以CB∥DE. 又由(1)得，DE⊥平面PCF，所以CB⊥平面PCF. 因为CB?平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PCF. (3)解 存在满足条件的点M，N， 且M，N分别是PD和BC的中点．
如图，分别取PD和BC的中点M，N.连接EN，PN，MF，CM. 因为四边形DEBC为平行四边形， 1
所以EF∥CN，EF＝BC＝CN，
2
所以四边形ENCF为平行四边形，所以FC∥EN. 在△PDE中，M，F分别为PD，DE的中点， 所以MF∥PE.
又EN，PE?平面PEN，PE∩EN＝E，MF，CF?平面CFM，MF∩CF＝F， 所以平面CFM∥平面PEN.
思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．
(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论．
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1
跟踪演练3 如图，在△PBE中，AB⊥PE，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且AC＝5，AB＝AP＝AE＝2，
2将△PBA沿AB折起使得二面角P－AB－E是直二面角．
(1)求证：CD∥平面PAB； (2)求三棱锥E－PAC的体积． 1
(1)证明 因为AE＝2，所以AE＝4，
2又AB＝2，AB⊥PE，
所以BE＝AB＋AE＝2＋4＝25， 1
又因为AC＝5＝BE，
2
所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线， 所以C是BE的中点， 又因为D是AE的中点，
所以CD是Rt△ABE的中位线，所以CD∥AB， 又因为CD?平面PAB，AB?平面PAB， 所以CD∥平面PAB.
(2)解 由(1)知，直线CD是Rt△ABE的中位线， 1
所以CD＝AB＝1，
2
因为二面角P－AB－E是直二面角，平面PAB∩平面EAB＝AB，PA?平面PAB，PA⊥AB， 所以PA⊥平面ABE，又因为AP＝2， 11
所以VE－PAC＝VP－ACE＝××AE×CD×AP
32114＝××4×1×2＝. 323
2
2
2
2
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________．(填序号)