发布时间 : 星期四 文章专题一平面向量的概念及线性运算更新完毕开始阅读f4d191e9b90d6c85ed3ac69c
专题一：平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 定义 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 长度为 的向量；其方向是任意的 长度等于 的向量 方向 或 的非零向量 的非零向量又叫做共线向量 长度 且方向 的向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为 0与任一向量 或共线 备注 平面向量是自由向量 记作： 非零向量a的单位向量为 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 加法 求两个向量和的运算 a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 求a与b的相反向减法 量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向数乘 求实数λ与向量a的积的运算 与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理
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a－b＝a＋(－b) λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
→→→2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于( ) 2→1→1→2→→→→→
A．2OA－OB B．－OA＋2OB C.OA－OB D．－OA＋OB
3333
→→→→→
3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝λPD，则实数λ的值为________．
→→→→→
4．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝____________.(用a，b表示)
题型一 平面向量的概念 例1 给出下列命题：
→→
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________．
下列命题中，正确的是________．(填序号)
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； →→
③向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线； ④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
题型二 平面向量的线性运算
例2 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三→
等分点，那么EF等于( )
2
1→1→1→1→1→1→1→2→A.AB－AD B.AB＋AD C.AB＋DA D.AB－AD 23423223→→→→→
(2)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( ) 21522112A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 33333333
→→→
(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于
( )
→→→
A．0 B.BE C.AD D.CF
12
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.
23→→→
若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
题型三 共线定理的应用
例3 设两个非零向量a与b不共线，
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，
→
则AD等于( )
2→1→1→2→2→1→1→2→A.AB－AC B.AB＋AC C.AB＋AC D.AB－AC 33333333
→
|AB|→→→
(2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－4OB＋3OC＝0，则等于( )
→|BC|A．3 B．4 C．5 D．6
方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→1→→1→
典例：(12分)如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC
42
3
→→→
相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.
A组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．下列说法正确的个数是( )
①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向； ③向量的模一定是正数； ④非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b等于( ) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9)
→→→
3．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
→→→
4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋OC＝0，则△ABC的内角A等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120°
→5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→→
＝λAB＋μBC，则λ＋μ等于( ) 112
A．1 B. C. D. 2336．下列命题：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一方向相同； →→→
②三角形ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；
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