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浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用
“数学思想方法”在数学教育、数学教学领域被广泛应用，它贯穿整个数学教学中，是数学教学的核心思想。
数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容（如概念、命题、规律）和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。
针对数学思想方法与数学知识的紧密联系，要求我们在学好数学的同时要重视数学思想方法的学习与深入。
通过历年以来数学家、教育家对数学思想方法的研究，把数学思想方法分为几大类：方程思想、函数思想、分类讨论思想、归化转化思想、数形结合思想、极限思想、整体思想、抽样统计思想等等。现在我就对分类讨论思想中学数学中的应用发表一下自己浅显的理解。
分类讨论思想是针对研究数学对象的本质属性的相同点和差异点来说的，将数学对象分为不同的种类，在对划分的每一种类分别进行研究和求解的一种方法。
它的实质是揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思想条理性和概括性。
现在对分类讨论思想做出如下几个方面的见解分析： （一）分类讨论思想的四大原则 1、 同一性原则
分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的另类根据。
如：把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是满足要求的。但是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形，这种分类就不正确，此种分类同时使用了按边、按角两个分类标准。
2、互斥性原则
分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一子项。
如：某班有9个同学参加球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加田径比赛，如把这9个人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误。因为必须有2人既参加球类比赛，又参加田径比赛。
3、相称性原则
分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集）应当与母项的外延相等。
如：某人把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。事实上有理数中还包括零。
4、层次性原则
分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后得到的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。
如：对一个数进行划分，最大层次是实数，实数又分为有理数与无理数，有理数可以分为正有理数、负有理数和零，无理数可以分为正无理数和负无理数，当然，还可以继续深化。
（二）分类讨论的步骤
用分类讨论思想解决问题的一般步骤是： a) b)
讨论的对象及讨论对象的取值范围的确定；
正确选择分类的标准，进行合理分类（分类时需要做到四大原则） c) d)
逐步讨论解决问题； 归纳并作出结论。
（三）分类讨论思想的原因 （1）由数学概念引起的分类讨论：
如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等； （2）由数学运算要求引起的分类讨论：
如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
（3）由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； （4）由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨
论；
如两直线的关系、直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系、源于原的位置关系等等。
（5）由参数的变化引起的分类讨论：
某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
（6）其他根据实际问题具体分析进行分类讨论； 如排列、组合问题，实际应用题等．
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 （四）几大常见的分类题型
1、根据图形的特征进行分类（与数形结合相联系）
如：直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切（内切和外切）、直线与圆相交。
例如：
已知直角三角形两条边长为3和4，则第三边长为—————— 分析：分类讨论：当4为直角边时，则另外一直角边为3。则第三边长为5。
当4为斜边时，则另一直角边为3，那么第三边长为√7 又如：
已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上