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第九章 传统时间序列分析
时间序列的变动主要是由长期趋势、循环波动、季节变动及不规则变动而形成的，其中前三种变动有一个共同的特点，就是依一定的规则而变化，不规则变动则在综合中可以消除。基于这种认识，本章主要是介绍设法消除不规则变动，拟合确定型趋势，因而形成了一系列确定型时间序列分析方法。
实验一 季节模型
实验目的：
掌握季节调整的方法。 实验内容：
对时间序列进行季节调整。 知识准备：
经济时间序列的变化受许多因素的影响，概括地讲，可以将影响时间序列变化的因素分为四种，即长期趋势（T，随着时间的变化，按照某种规律稳步地增长、下降或保持在某一水平上）、季节变动因素（S，在一个年度内依一定周期规则性变化）、周期变动因素（C，以若干年为周期的波动变化）和不规则变动因素（I，许多不可控的偶然因素共同作用的结果）。传统时间序列分析应是设法消除不规则变动，指拟合确定性趋势，因而形成了长期趋势分析、季节变动分析和循环波动测定等一系列确定型时间序列分析方法。
季节变动是一种较为普遍的现象，其按照一定的周期循环进行，而且每个周期变化强度大体一致。研究季节变动的目的在于了解季节变动的规律，并进行季节预测。分析季节变动的方法有很多，其中常用的方法有两类：一是不考虑长期趋势的影响；二是考虑长期趋势的影响，运用时间序列模型分解的方法来计算季节指数。谓季节调整,就是将某一统计指标的时间序列中的季节性因素和偶然性因素剔除,从而使经过季节调整的时间序列能够较为准确地反映出社会经济运行基本态势。本章主要介绍X11方法、Census X12方法和移动平均比率法等季节调整方法。
一、X11方法
X11的全称是“X11”变量的第二类调查统计方法季节调整方案，通常简称为X11方案。其基本思想是利用一系列处理技术将不可比因素如季节、节假日、
各月（季）的星期数量等分离，大大提高数据的可比性，以便于对系统作出正确的分析和客观的评价；同时，通过分离，获得关于系统动态结构和规律的大量信息。X11季节调整方法包括乘法模型和加法模型。乘法模型将时间序列分解为上述四个因素变动的乘积；加法模型则将序列分解为上述四个因素的和无约束样本回归模型。
乘法模型：Yt?Tt?Ct?St?It （1） 加法模型：Yt?Tt?Ct?St?It （2） 对于一个时间序列，采用哪种模型分析取决于各成分之间的关系。一般来说，若4种成分是相互独立的应用加法模型；若相互有关联则用乘法模型。相对而言，乘法模型应用比较广泛。在乘法模型中，时间序列值和长期趋势用绝对数表示，季节变动、周期变动和不规则变动用相对数（百分数）表示。
X11 是X12方法的核心，其目标旨在将经济时序Yt分解为趋势循环成分TCt 、季节成分S t 和不规则分成I t ，其中月度数据还需要分解出移动节日、交易日数等日历效应分量Dt 。X11 可以估计趋势和季节因素，可以用自动过滤选择模式选择季节过滤和趋势过滤（对序列结尾有专门的过滤），还能够调整异常值。
设Yt为原时间序列，现以乘法模型为例，说明X11季节调整方法的核心算法，共分为三个阶段：
第一阶段，初步估计
(1)序列趋势循环的粗略估计，即对原序列作中心化移动平均
11TCt?(Yt?6?Yt?5?...?Yt?...?Yt?5?Yt?6)/12 （3）
22(0.5Yt?2?Yt?1?Yt?Yt?1?0.5Yt?2)TCt?4 （4）
（3）式适用于月度数据，（4）式适用于季度数据。该移动平均能够保留线性趋势，消除季节性并减小不规则因素的方差。
(2)趋势因素过滤，计算得到仅包含季节和不规则因素变化新序列SI
SIt(1) ?Yt/TCt （5）
(1)(3)对序列SIt进行3*3项移动平均，得到初步的季节因素估计序列S
?(1)?(SI(1)?2SI(1)?3SI(1)?2SI(1)?SI(1))/9Stt?24t?12tt?12t?24?M3*3(SIt)(1) （6）
对每个月的观测值分别应用3*3项移动平均，从而保留线性趋势。 (4)先将季节因素估计序列除以2*12的移动平均值，得到初步的无偏季节因子，然后从中消除季节因子从而得到不规则因子
?(1)?(S?(1)?2S?(1)?....?2S?(1)?S?(1))/24?Stt?6t?5t?5t?6 （7） (1)(1)???St?M2*12StSt(1)??通过对季节因子进行标准化，使得因子之和在每个连续的12个月内都近似为0。
(5)将原序列除以季节因子，从而得到初步季节调整后的序列
TCIt(1)(1) ?Yt/St （8）
这是初次估计的季节调整后序列，所包含的季节性因素已经很少。接下来将基于TCIt序列继续进行移动平均。
第二阶段 进一步估计和过滤
（1）利用长度为2H+1Henderson过滤来计算趋势（循环）成分
(1)TCt(2)?j??H?hjH(2H?1)TCIt?j(1) （9）
其中H值由信噪比标注I/C（C 代表趋势）确定，hj为各平滑数据的权数。X-12选择H 的标准：当I/C<1.0 时，用9（即H=4）次过滤；当1.0=I/C<3.5，用13（即H=6）次过滤；当3.5=I/C 时，用23（即H=12）次过滤。
(2)计算最后的季节-不规则因素的比率
SIt(2)?Yt/TCt(2) （10）
(3)通过3*5项移动平均计算出最后的季节因素，再对其进行收敛得到无偏季节因素
?(2)?(SI(2)?2SI(2)?3SI(2)?3SI(2)?3SI(2)Stt?36t?24t?12tt?12?2SIt?24(2)?SIt?36(2))/15?M3*5SIt?(2)? (11)
对每月（季）的观测值分别应用3*5项移动平均，从而保留线性趋势。 (4)计算最终的季节因子
St(2)?(2)?(S?(2)?2S?(2)?....?2S?(2)?S?(2))/24 (12) ?Stt?6t?5t?5t?6上式对季节因子进行标准化，使得因子之和在每一个连续的12月（4季度）内都近似为零。
（5）第二步季节调整后的序列
TCIt(2)(2)?Yt/St (13)
第三阶段 最终估计与过滤
（1）利用Henderson移动平均公式计算最终的趋势循环因素
TCt(3)?j??H?hjH(2H?1)TCIt?j(2) (14)
上式表示2H+1项Henderson移动平均，其移动平均的项数由数据决定，可能会第二阶段步骤一有所不同。
（2）计算最终的不规则因素
It(3)?TCTt(2)(3)/TCt (15)
(3)从而得到分解序列的乘法模型：Yt?TCt?St(2)(3)?It
至此，季节调整完毕。季节调整加法模型等其他季节调整模型的步骤与乘法模型类似。
由此可以看出，X11是基于移动平均的季节调整方法，用户可以根据各种季节调理的目的不同自主地选择计算公式，从而适应序列的特征。系统也会自动地根据随机因素的大小确定移动平均的长度。在X11 中，趋势过滤包括2×12（或2×4）初步的趋势估计和最终趋势估计的Handerson 过滤两个环节，季节（自动）过滤包括3×3 初步的季节估计和3×3、3×5 或3×9 的最终季节过滤两个环节。多数情况下可选择3×5，季节模式迅速变化时用3×3，季节模式不是正在变化或不规则因素影响很大时用3×9。趋势估计或季节估计都采用平滑方法。
X11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步准确化。应当注意，X11只能作用于含季节因素的序列，季节调整的观测值的个数是有限制的，最少需要4个整年的数据，最多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。
二、Census X12季节调整方法