发布时间 : 星期四 文章分层随机抽样更新完毕开始阅读f7195915a21614791711282b
??Ny?200?39.5?400?105?750?165?1500?24?209650 Y?hhh?1441?f221?fh2h?)??Nv?y???Nv(Ys?Nsh?5.93?108 ?hhhnhnhh?1h?1h?1L2hL2h?)?v(Y?)?23208 s(Y??ts(Y?)?209650?2?23208 Y七、对总体比例的估计
对于分层随机抽样，总体比例P的简单估计量：pst??Whph
h?1L对于分层随机抽样，如果ph是Ph的无偏估计（h?1,2,?,L），则pst是P的无偏估计即E(pst)?P。则pst的方差为：V?pst???Wh2V?ph?
h?1L对于分层随机抽样，pst是P的无偏估计，V?ph??Nh?nhPhQh，Nh?1?Nh，
Nh?1nh1因而pst的方差为：V?pst???WV?ph??2Nh?12hLL2?Nh?nh?PhQh Nh?Nh?1nhh?1L2LPQ?Nh?nh?PhQh1Nh??Wh2?1?fh?hh ??2nhNhnhh?1h?1N对于分层随机抽样，V?pst?的一个无偏估计为：
1v?pst???Wv?ph??2Nh?12hL2?1?fh?2L2?Nhphqh ??W1?fs??hhhn?1nhh?1h?1hL例2:在例3.1的调查中,同时调查了居民户拥有家庭电脑的情况,获得如下数据
（单位:台），要估计该地区居民拥有家庭电脑的比例及估计的标准差。
层 1 2 3 4
居民户总数
样本户拥有家庭电脑情况
1 0 0 1 1
2 0 1 1 0
3 0 0 0 0
4 1 0 0 0
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0
7 0 0 1 0
8 1 0 0 0
9 0 1 1 0
10 0 0 0 0
200 400 750 1500
解：由上表可得，p1?0.2；p2?0.2；p3?0.4；p4?0.1 对各层层权及抽样比的计算结果：
W1?N1200N400??0.07018W2?2??0.14035N2850N2850 N1500N3750W4?4??0.52632??0.26316N2850N2850
n110n10??0.05f2?2??0.025N1200N4002 n410n10??0.0067f3?3??0.0133N41500N3750
W3?f1?f4?各层估计量的方差：
v?p1???1?f1?p1q1pq?0.0169v?p2???1?f2?22?0.0173n1?1n2?1
v?p3???1?f3?p3q3pq?0.0263v?p4???1?f4?44?0.0099n3?1n4?1
414 因此，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为：pst??Whph??Nhph
Nh?1h?11(200?0.2?400?0.2?750?0.4?1500?0.1)?0.2 2850
=
1估计量的方差为：v?pst??2N?Nv?p?
2hhh?14=
12222(200?0.0169?400?0.0173?750?0.0263?1500?0.0099)?0.005 22850估计量的标准差为：s(pst)?v(pst)?0.07
八、各层样本量的分配
在分层随机抽样中，样本量在各层中的不同分配方式会对估计量的精度产生一定的影响，这一方面是由于层的规模大小不同或在总体中所占有的“地位”不
2同，另一方面是因为各层的层内方差Sh不同。这些都会影响估计量的精度。从22LWh2ShWhSh分层随机抽样中总体均值估计量的方差表达式V(yst)??可以??nhNh?1h?1L2看出，等式右端第一项与各层样本量nh有关，同时还与Wh2Sh相关。那么nh的分
配遵循怎样的规则才能使V(yst)尽可能小，有以下几种分配思路：（1）常数分配；
22（2）与层内方差Sh成比例的分配；（3）与层权Wh2成比例的分配；（4）与Wh2Sh2成比例的分配。实际研究表明，等额分配的效果相对较差；与层内方差Sh成比
例的分配适用于要求每层的估计量都达到相当精度的情况；与层权Wh2成比例的
2分配（比例分配）和与Wh2Sh成比例的分配（内曼最有分配）效果相对较好。
例3:调查某地区的居民奶制品年消费支出,以居民户为抽样单元,根据经济及收入水平将居民户划分为4层,每层按简单随机抽样抽取10户,调查获得如下数据(单位:元）,要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。 按照nh?nwh分配
层 居民户数
权数
方差sh 常数分配 与权数Wh成比例 与WhSh成正比
1 2 3 4
200 400 750 1500 0.070175 1624 0.140351 2166 0.263158 8205 0.526316 193 10 10 10 10 3 6 11 20 3 7 23 7
九、按比例分配
按各层单元数占总体单元数的比例，也就是按各层的层权进行分配.
nhNhnn??Wh fh?h??f nNNhN对于分层随机抽样，按比例分配总体均值的估计是：（yprop与yst是一个意思）
ypropLnhn1??Whyh??yh??hh?1h?1nh?1nnhLL1Lnh1nyhi???yhi??yi?y（自加权） ?nh?1i?1ni?1i?1nh可以从上式看出，此时总体均值Y的估计量就是样本均值y。由此可推出总体总
NLnhN1?量Y的估计：Yprop?Nyprop???yhidefy?y，y为n个样本总量。
nh?1i?1nf（注！总体中的任一个单元，不管它在哪一个层，都以同样的概率入样，因此按比例分配
的分层随机样本，估计量的形式特别简单。这种样本也称为自加权的样本。）
对于分层随机抽样，按比例分配总体比例的估计是：pprop1L?p??ah
nh?n1?fh21?fV?yprop???WV?yh???WhhSh?nnhnh?1h?1L2hL2WS?hh? h?1L所以有：V(yprop)??Wh?1LhS2hn??Wh?1LLh2ShNhh
1?fV?pprop??Nn2NhPhQh1?f??nh?1Nh?1L?WPQh?1h
十、最优分配
在分层随机抽样中,如何将样本量分配到各层,使得总费用给定的条件下,估计量的方差达到最小,或给定估计量方差的条件下,使总费用最小,能满足这个条件的样本量分配就是最优分配。
设总费用函数为：CT?c0??chnh，式中CT为总费用；c0为与样本量无关
h?1L的固定费用；ch为在第h层中抽取单元的平均费用。从该式中可以看出，只有
?cnh?1Lhh是与各层样本量nh有关的费用。我们的目标是同时权衡费用和方差两个
指标，在方差给定时使费用尽可能小，或在费用给定时使方差尽可能小，因此构
2Wh2Sh造目标函数如下：C?V??(CT?c0)?(V??)式中，(CT?c0)代表总费用中
Nh?1L2Wh2Sh受各层样本量nh影响的部分；(V??)代表方差中受各层样本量nh影响的
Nh?1L部分。
1、对于分层随机抽样，若费用函数为C?c0??chnh，则最有分配为：
h?1LWSchNSchnh ?Lhh?Lhhn?WhShch?NhShchh?1h?1由此得出如果某一层单元数较多、内部差异较大、费用比较省则对这一层的样本量要多分配一些。 2、内曼分配
如果每层抽样的费用相同，最优分配可简化为：
nh?nWhShL?nhNhSh?WShh?1?NShh?1L
h