发布时间 : 星期三 文章2017-2018版高中数学 第1章 导数及其应用学案 苏教版选修2-2更新完毕开始阅读f71cba8ae55c3b3567ec102de2bd960591c6d962
平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是
x＝φ(y)，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x＝，x＝y＋4的形式，然后求面
2
积.
8 利用定积分速求面积
1.巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例1 求直线y＝2x＋3与抛物线y＝x所围成的图形的面积.
分析 解此类题的一般步骤是：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上、下限；④计算.
解 画出图象如图所示，
2
y2
??y＝2x＋3，
解方程组?2
?y＝x，?
得A(－1,1)，B(3,9). 故所求图形的面积为 ?－1(2x＋3－x)dx＝
3
2
?x2＋3x－1x3??3＝32.
???－13
3???
点评 本题若选纵坐标y为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便.另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变. 2.妙用对称
在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段.
例2 求由两条曲线y＝x4y＝x和直线y＝1所围成的图形的面积. 分析 先画图象，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解.
解 如图，因为y＝x4y＝x是偶函数，根据对称性，只需算出y轴右边的图形的面积再乘以2即可.
2,
22,
2
13
??y＝x，
解方程组?
?y＝1，?
2
2
??4y＝x，
和?
?y＝1.?
2
2
得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1).
?1?x2－x?dx＋2?1－x?dx???? 所以S＝2?????44??????1
??0?＝2???
?
?1x3??1＋x?2－?1x3??2?＝4. ?4??0?1?12??1?3????????
点评 巧用对称性能简化解题. 3.恰到好处的分割
例3 求两曲线y＝sin x与y＝sin 2x在[0，π]上围成的图形的面积.
分析 先画图象，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积. π
解 如图，令sin x＝sin 2x，得交点的横坐标为x＝0，x＝，x＝π.
3
由图形分割，得
5
S＝?3 (sin 2x－sin x)dx＋? (sin x－sin 2x)dx＝. ??π2?0?3
π
π
点评 类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法. 4.进行适当转换
3π3π
例4 求正弦曲线y＝sin x，x∈[0，]和直线x＝及x轴围成的平面图形的面积.
223π
解 由图可知，当x∈[0，π]时，曲线y＝sin x位于x轴的上方，当x∈[π，]时，曲
2线y＝sin x位于x轴的下方.
因此所求面积应为两部分面积的和，即
14
3π3π
S＝?π?2|sin x|dx＝?0sin xdx－
??2sin xdx ?0?π
?3π
＝－cos x|π＋ cos x| ?
20?? π
＝2＋1＝3.
点评 对于y＝f(x)和x＝a，x＝b(a
(3)若a 当c≤x≤b时，f(x)>0，则?cbaf(x)dx<0，?cf(x)dx>0，所以S＝－?cbaf(x)dx＋?cf(x)dx. 15