发布时间 : 星期一 文章炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(二)数学(理科)更新完毕开始阅读f77a3ab888eb172ded630b1c59eef8c75fbf9581
x2
则椭圆方程为：4＋y2＝1，2分
显然，点M，N关于x轴对称，不妨设M(x1，y1)，N(x1，－y1)(y1〉0)，
则TM·TN＝(x1＋2，y1(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21，3分呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚趱為練。 x21而点M，N在椭圆上，则y21＝1－4，莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减籩诹戀。 8?55?1则TM·TN＝(x1＋2)2－y21＝4x21＋4x1＋3＝4x1＋52－5，麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶尔摊鲟。 ??
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又－2〈x1〈2，则x1＝－5时，TM·TN取得最小值－5.5分納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬颤階躜。 8?3?313??－＋2此时y1＝5，r2＝52＋52＝25，風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙誑繃纸。 ????
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所以TM·TN取最小值－5时，圆T的方程为(x＋2)2＋y2＝25.6分灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹狰廚怃。 y0－y1
(Ⅱ)设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：y－y0＝(x－x0)，铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝吶转鮭。 x0－x1x1y0－x0y1x1y0＋x0y1
令y＝0得xR＝，同理可得：xS＝，攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸鐙浍蹤。 y0－y1y0＋y1x21y20－x20y21
故xRxS＝……①8分趕輾雏纨颗锊讨跃满賺蚬騍純。 y20－y21
又点M，P在椭圆上，故x20＝4(1－y20)，x21＝4(1－y21)，夹覡闾辁駁档驀迁锬減汆藥徑。 4(1－y21)y20－4(1－y20)y214(y20－y21)
代入①得：xRxS＝＝＝4，视絀镘鸸鲚鐘脑钧欖粝佥爾鱿。 y20－y21y20－y21所以，|OR|.|OS|＝|xRxS|＝4为定值.12分偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠铃铋跄。 (21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex－1＋a，函数g(x)＝ax＋ln x，a∈R.
(Ⅰ)若曲线y＝f(x)与直线y＝x相切，证明：f(x)≥g(x)＋1；
(Ⅱ)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且仅有一个公共点P(x0，y0)，证明：x0〈2. 【解析】(Ⅰ)设曲线y＝f(x)与直线y＝x相切与点Q(x1，y1)， 则错误!错误!＝y1＝1，1分
而点Q(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，将点代入得a＝0，2分
1
令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－ln x(x〉0)，则F′(x)＝ex－1－x，3分緦徑铫膾龋轿级镗挢廟耬癣纥。 当x∈(0,1)时F′(x)〈0，函数F(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时F′(x)〉0，函数F(x)单调递增，
故函数F(x)的最小值为F(1)＝1，即f(x)≥g(x)＋1；5分
(Ⅱ)G(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－ln x－ax＋a，由题意函数G(x)有且仅有一个零点，騅憑钶銘侥张礫阵轸蔼揽齊弯。 11
因为G′(x)＝ex－1－x－a，G′′(x)＝ex－1＋x2〉0，疠骐錾农剎貯狱颢幗騮鸪詼驤。 则G′(x)为(0，＋∞)上的增函数，且其值域为R， 故G′(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点，设为t，
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则当x∈(0，t)时G′(x)〈0，则G(x)单调递减， 当x∈(t，＋∞)时G′(x)〉0，则G(x)单调递增， 从而函数G(x)在x＝t处取得最小值，
又函数G(x)有唯一零点x0，则必有t＝x0， 所以：错误!错误!
x0－1
消去a整理得：(2－x0)ex0－1＋x0－ln x0＝0， x－1
令H(x)＝(2－x)ex－1＋x－ln x，显然x0为其零点， 1??而H′(x)＝(1－x)ex－1＋x2，榿贰轲誊壟该槛鲻垲赛纬闼糝。 ??
故H(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
1
而H(1)＝1〉0，H(2)＝2－ln 2〈0，所以H(x)在(1,2)内有且仅有一个零点，在[2，＋∞)内无零点，邁茑赚陉宾呗擷鹪讼凑幟结廢。 从而H(x)的零点一定小于2，即x0〈2.12分
请考生在第(22)～(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!(t为参数，α为直线的倾斜角).以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系.圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设直线与圆交于A，B两点.该栎谖碼戆沖巋鳧薩锭谟贛赘。 (Ⅰ)求圆C的直角坐标方程与α的取值范围；
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(Ⅱ)若点P的坐标为(－1,0)，求＋的取值范围.劇妆诨貰攖苹埘呂仑庙痙湯簖。 |PA||PB|【解析】(Ⅰ)圆C的直角坐标方程x2＋y2－2x＝0.1分
把错误!代入x2＋y2－2x＝0得t2－4tcos α＋3＝0 ①2分 又直线l与圆C交于A，B两点，所以Δ＝16cos2α－12〉0， 33
解得：cos α〉2或cos α〈－2.4分鰻順褛悦漚縫冁屜鸭骞阋苈騍。 ?π??5π?又由α∈[0，π)，故α∈0，6∪6，π.5分穑釓虚绺滟鳗絲懷紓泺視娇賭。 ?
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(Ⅱ)设方程①的两个实数根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义可知：
|t1＋t2||4cos α|11
＋＝t1t2＝8分隶誆荧鉴獫纲鴣攣駘賽涝鈧籜。 3|PA||PB|
323|4cos α|4
又由2〈|cos α|≤1，所以3〈≤3，浹繢腻叢着駕骠構砀湊農瑤帳。 3于是11?234?＋的取值范围为?，?.10分鈀燭罚櫝箋礱颼畢韫粝銨鹏骆。 ?33?|PA||PB|
(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋a|，且不等式f(x)≤5－a对任意x∈R成立. (Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)设a取最大值时，求不等式|f(x)－|x＋2||〉3的解集.
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【解析】(Ⅰ)|x－1|－|x＋a|≤|x－1－x－a|＝|a＋1|，故|a＋1|≤5－a， 即a－5≤a＋1≤5－a， 即a≤2.5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a＝2，即解不等式||x－1|－2|x＋2||〉3等价于|x－1|－2|x＋2|〉3或|x－1|－2|x＋2|〈－3，惬執缉蘿绅颀阳灣熗鍵舣讷赃。 |x－1|－2|x＋2|＝错误! 图象如右：
由图知解集为{x|x〈－8或x〉0}.10分
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