发布时间 : 星期六 文章2020-2021学年高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：（二十四） - 函数与导数 - 含解析更新完毕开始阅读f8fb9c5ea100a6c30c22590102020740be1ecd87
课时跟踪检测（二十四） 函数与导数
1．(2017·兰州模拟)已知函数f(x)＝－x＋x＋b，g(x)＝aln x.
3
2
3?1?
(1)若f(x)在?－，1?上的最大值为，求实数b的值；
8?2?
(2)若对任意的x∈[1，e]，都有g(x)≥－x＋(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围．
2
2
解：(1)f′(x)＝－3x＋2x＝－x(3x－2)，
2
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
3
?1?
当x∈?－，0?时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；
?2??2?
当x∈?0，?时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；
?3??2?
当x∈?，1?时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数．
?3??1?3?2?4
∵f?－?＝＋b，f??＝＋b， ?2?8?3?27?1??2?∴f?－?＞f??. ?2??3?
3?1?3
∴f?－?＝＋b＝，∴b＝0.
8?2?8
(2)由g(x)≥－x＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x－2x，
2
2
∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x，由于不能同时取等号，
∴ln x＜x，即x－ln x＞0，
2
x－2x∴a≤(x∈[1，e])恒成立．
x－ln x
x－2x
令h(x)＝，x∈[1，e]，
x－ln x
2
则h′(x)＝
x－1
x＋2－2ln x
， 2
x－ln x
当x∈[1，e]时，x－1≥0，x＋2－2ln x＝x＋2(1－ln x)＞0，从而h′(x)≥0，
2
x－2x
∴函数h(x)＝在[1，e]上为增函数，
x－ln x
∴h(x)min＝h(1)＝－1，∴a≤－1，
故实数a的取值范围为(－∞，－1]．
12x
2．(2018届高三·合肥调研)已知函数f(x)＝e－ax(x＞0，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的
2
导函数．
(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；
2
(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥xln x对一切x∈(0，＋∞)恒成立？若存在，求出a的最大值；
若不存在，请说明理由．
x
2
x
解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－2x，
x
x
令f1(x)＝f′(x)＝e－2x，则f1′(x)＝e－2，
令f1′(x)＝0，得x＝ln 2，又0＜x＜ln 2时，f1′(x)＜0，x＞ln 2时，f1′(x)＞0，∴f1(x)＝f′(x)在x＝
ln 2时取得极小值，也是最小值．
∵f′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
∴f(x)＞f(0)＝1.
x
2
(2)由已知，得f′(x)＝e－ax，由f′(x)≥xln x，
x
2
得e－ax≥xln x对一切x＞0恒成立，
当x＝1时，可得a≤e，
∴若存在，则正整数a的值只能取1,2.
下面证明当a＝2时，不等式恒成立，
x
e2
设g(x)＝2－－ln x，
xx
x－2
则g′(x)＝3
x
e
x
21x－2e－x＋2－＝， 3
xxx
x
由(1)得e＞x＋1≥2x＞x，∴e－x＞0(x＞0)，
x2x
∴当0＜x＜2时，g′(x)＜0；当x＞2时，g′(x)＞0.
∴g(x)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
12112
∴g(x)≥g(2)＝(e－4－4ln 2)＞×(2.7－4－4ln 2)＞(3－ln 16)＞0，
444
∴当a＝2时，不等式f′(x)≥xln x对一切x＞0恒成立，故a的最大值是2.
2
ln x－a
3．(2017·安徽二校联考)已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取
x
得极值，且有两个零点记为x1，x2.
(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；
(2)证明：ln x1＋ln x2＞2.
1·x－x
解：(1)f′(x)＝
ln x－ax
2
a＋1－ln x＝， 2
x
由f′(x)＝0，得x＝e
a＋1
a＋1
，且当0＜x＜e
a＋1
时，f′(x)＞0，当x＞e
a＋1
时，f′(x)＜0，
所以f(x)在x＝e
a＋1
时取得极值，
所以e＝e，解得a＝0.
ln x1－ln x
所以f(x)＝－m(x＞0)，f′(x)＝，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递2
xx
1
减，f(e)＝－m.又x→0(x＞0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，f(x)有两个零点x1，x2，
e
?1－m＞0，e故?
?－m＜0，
1
解得0＜m＜.
e
?1?
所以实数m的取值范围为?0，?.
?e?
?ln x1＝mx1，
(2)证明：不妨设x1＜x2，由题意知?
ln x＝mx.2?2
x2
lnx1
x2
则ln x1x2＝m(x1＋x2)，ln＝m(x2－x1)?m＝.欲证ln x1＋ln x2＞2，只需证ln x1x2＞2，
x1x2－x1