发布时间 : 星期二 文章宁德市2015届高三5月质检理数试卷 Word版含答案更新完毕开始阅读f909c200e53a580216fcfe90
20．(本小题满分14分)
已知函数f(x)?e?x(x2?ax)在点(0,f(0))处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a的值；
3（Ⅱ）设g(x)??x(x?t?）(t?R)，若g(x)?f(x)对x?[0,1]恒成立，求t的取值范围；
e1（Ⅲ）已知数列{an}满足a1?1，an?1?(1?)an，
naaa?13?求证：当n?2,n?N时 f(1)?f(2)??f(n?1)?n????
nnn?62e?（e为自然对数的底数，e?2.71828)．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换
在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P(x,y)变换为点P?(2x?y,3x)．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M?1；
（Ⅱ）求曲线4x?y?1?0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C?的方程．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程
为
?2t?2,?x????2(t为参数）, 圆C的极坐标方程为?2?2?sin(??)?1?r2(r?0)． ?42?y?t??2（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
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已知函数f(x)?|x?5|?|x?3|. （Ⅰ）求函数f(x)的最小值m； （Ⅱ）若正实数a,b满足
1112??3，求证：2?2?m. abab
2013年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．
1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．
111．2 12． 13．?1或0 14．(?3,?1)(1,3) 15．3 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分．
11?解: （Ⅰ）设射线y?x(x?0)的倾斜角为?，则tan??，??(0,)．……………1分
7721?1?47∴tan??tan(??)??，……………………………………………4分 41?1?1374??sin2?+cos2??1,sin??,???5∴由?sin?4解得?……………………………………………6分
3?,??cos??.?cos?3?5?
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?34?∴点A的坐标为?，?．…………………………………………………………7分
?55?（Ⅱ）f(x)=3sin??sin2x?2cos??2cos2x……………………………………8分
1212?sin2x?cos2x 55122??sin(2x?).…………………………………………………10分
54????? 由x?[0,]，可得2x??[,]，
2444?2,1]，………………………………………………………12分 ∴sin(2x?)?[?4212122]．……………………………………………13分 ∴函数f(x)的值域为[?,5517．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、 运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．
解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得， (0.0015?0.019)?20?(x?140)?0.025?0.5，
解得：x?143.6．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．
进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为?、?， 则?3B(3,)，……………………………5分
439?．……………………………6分 44∴E??3?99∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[?(3?)]?20?30，………………………8分
44411?1?19?1?11∵P(??0)?????，P(??1)?2????????，
552?5?250?5?25041112?4?1?4?116P(??2)?????2????，P(??3)?????，
52552255250????2222∴E??0?1?9121621?2??3??， …………………………………………10分 502550102121∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[?(3?)]?20?24．……………………12分
1010∴120?30?120?24， ∴支持票投给甲队．．……………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为?， 则?所有可能的取值为?60，?20，20，60．
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13?9?3?13?P(???60)??1???1??， P(???20)?C3， ??4?4?64?4?64?3?P(??20)?C???4?23332?3?27?3?27，P(??60)????． ?1???464464????31927?20??20??60?30．……………………………8分 646464设最后抢答阶段乙队获得的分数为?，则?所有可能的取值为?60，?20，20，60． ∴E???60?411?1?19?1?11∵P(???60)?????，P(???20)?2????????，
52505525250????41112?4?1?4?116P(??20)?????2????，P(??60)?????，
55225?5?2?5?2502222191216?20??20??60??24，……………………………12分 50502550∵120?30?120?24，
∴支持票投给甲队．…………………………………………13分
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．
?（Ⅰ）证明：∵?A1AD?，且AA1?2，AO?1，
3?∴A1O?22?12?2?2?1?cos?3，…………………………………………2分
3∴E???60?2∴AO?AD2?AA12 1?AD.…………………………………………3分 ∴AO1又CD?AO，且CD1AD?D，
?平面ABCD．…………………………………………5分 ∴AO1（Ⅱ）解：过O作Ox//AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O?xyz（如图）， 则A(0,?1,0)，A1(0,0,3)，……………………………6分 设P(1,m,0)(m?[?1,1])，平面A1AP的法向量为n1=(x,y,z)， B１ ∵AA1?(0,1,3)，AP?(1,m?1,0)，
z A１ D１
Ｃ１ ??n?AA1?y?3z?0,且?1 ??n1?AP?x?(m?1)y?0.A O OaCa
Dy e BPx y a
取z?1，得n1=(3(m?1),?3,1)．……………………………8分 ?平面ABCD,且AO?平面A1ADD1, 又AO11
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