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思考3 如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么? 答

探究点三 两个平面垂直的判定

思考1 判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有其它的判定定理吗? 答

思考2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理? 答

例1 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.

跟踪训练1 如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点.

求证:(1)EF∥面ACD; (2)面EFC⊥面BCD.

例2 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB

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的中点.

(1)求点C到平面A1ABB1的距离;

(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.

跟踪训练2 如图所示,已知Rt△ABC,斜边BC?α,点A?α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.

【随堂练习】

1.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角.可能为钝角的有( ) A.0个

B.1个

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C.2个

D.3个

2.直线l⊥平面α,l?平面β,则α与β的位置关系是( ) A.平行 C.相交且垂直

3.下列命题:

①两个相交平面组成的图形叫做二面角;

②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;

③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( )

A.①③ B.②④ C.③④ D.①②

4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=1,SA=角S-BC-A的大小为________.

3

,则二面2

B.可能重合 D.相交不垂直

【课堂小结】 1.求二面角的步骤

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简称为“一作二证三求”. 2.作二面角的三种常用方法

(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

3.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义;

(2)利用面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

2. 3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

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