发布时间 : 星期六 文章专题04几何最值存在性问题(解析版)更新完毕开始阅读f971551fbc23482fb4daa58da0116c175f0e1ebf
设P??1.5,y?,则PO2?94?y2,OB2?8,PB2?124??y?2?.
∵△POB为等腰三角形, ∴分三种情况讨论: ①PO2?OB2,即
94?y2?8,解得:y??232, ∴P?23??23?1???1.5,??2??,P?2???1.5,?2??;
?②PB2?OB2,即
14??y?2?2?8,解得:y??2?312, ∴P?31??31?3???1.5,?2?2??,P4???1.5,?2?2??;
????③PB2?OP2,即
1??y?2?2?9?y244,解得:y??0.5 ∴P5??1.5,?0.5?; (3)设M?x,y?.
∵A?1,4?,B??2,?2?,O?0,0?,
∴MO2?x2?y2,MA2??x?1?2??y?4?2,MB2??x?2?2??y?2?2.∵MO?MA?MB,
?∴??x2?y2??x?1?2??y?4?2??x2?y2??x?2?2??y?2?2 ??x??11解得:??2,
???y?72∴M???11?2,7?2??. 作B关于y轴的对称点B'坐标为:(2,-2). 连接B'M交y轴于Q.此时△BQM的周长最小.
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C?BQM?MQ?BQ?MB?MQ?QB??MB=MB'+MB
?11??7??11??7?????2????2?????2????2? ?2??2??2??2?2222?12?346?170.
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【名师点睛】
本题是二次函数综合题.考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等.第(1)问的关键是割补法;第(2)问的关键是分类讨论;第(3)问的关键是求出M的坐标. 【举一反三】
(2019·重庆实验外国语学校初三)如图1,已知抛物线y=﹣在点B的左侧),与y轴交于点C. (1)求出直线BC的解析式.
M为线段BC上方抛物线上一动点,(2)过M作x轴的垂线交BC于H,过M作MQ⊥BC于Q,求出△MHQ周长最大值并求出此时M的坐标;当△MHQ的周长最大时在对称轴上找一点R,使|AR﹣MR|最大,求出此时R的坐标.
(3)T为线段BC上一动点,将△OCT沿边OT翻折得到△OC′T,是否存在点T使△OC′T与△OBC的重叠部分为直角三角形,若存在请求出BT的长,若不存在,请说明理由.
323x?x+3与x轴交于A和B两点,(点A84 10
【答案】(1)y=﹣【解析】 【分析】
9316x+3;(2)R(1,);(3)BT=2或BT=.
542(1)由已知可求A(﹣2,0),B(4,0),C(0,3),即可求BC的解析式;
35QM,MH=MQ,所以△MHQ周长=3QM,则求△MHQ
44323周长的最大值,即为求QM的最大值;设M(m,?m?m?3),过点M与BC直线垂直的直线解析
84(2)由已知可得∠QMH=∠CBO,则有QH=式为y?27221437?927?m?m?3?,可求出x?m2?m?3,交点Q?m?m,?252001003812?50?MQ=36?m2?4m?,当m=2时,MQ有最大值;函数的对称轴为x=1,作点M关于对称轴的对称点?510M'(0,3),连接AM'与对称轴交于点R,此时|AR﹣MR|=|AR﹣M'R|=AM',|AR﹣MR|的最大值为AM';求出AM'的直线解析式为y?3?9?x?3,则可求R?1,?; 2?2?(3)有两种情况:当TC'∥OC时,GO⊥TC';当OT⊥BC时,分别求解即可. 【详解】
解:(1)令y=0,即?∵点A在点B的左侧 ∴A(﹣2,0),B(4,0), 令x=0解得y=3, ∴C(0,3),
设BC所在直线的解析式为y=kx+3, 将B点坐标代入解得k=?∴BC的解析式为y=-
323x?x?3?0,解得x1??2,x2?4, 843 43x+3; 411
(2)∵MQ⊥BC,M作x轴, ∴∠QMH=∠CBO, ∴tan∠QMH=tan∠CBO=34, ∴QH=
34QM,MH=54MQ,
∴△MHQ周长=MQ+QH+MH=
34QM+QM+54MQ=3QM,
则求△MHQ周长的最大值,即为求QM的最大值; 设M(m,?3m2?384m?3), 过点M与BC直线垂直的直线解析式为y?43x?378m2?12m?3, 直线BC与其垂线相交的交点Q??9?50m2?725m,?27221?200m?100m?3??,∴MQ=310??m2?4m?, ∴当m=2时,MQ有最大值65, ∴△MHQ周长的最大值为185,此时M(2,3), 函数的对称轴为x=1,
作点M关于对称轴的对称点M'(0,3),
连接AM'与对称轴交于点R,此时|AR﹣MR|=|AR﹣M'R|=AM', ∴|AR﹣MR|的最大值为AM'; ∵AM'的直线解析式为y=32x+3, ∴R(1,
92); (3)①当TC'∥OC时,GO⊥TC', ∵△OCT≌△OTC', ∴OG=3?45=125, ∴T??126?5,?5?? ∴BT=2;
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