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第四章 流体的涡旋运动
§5.1绪论
一、涡旋现象和涡旋运动的概念
自然界中的涡旋现象往往和灾难、神秘相关联。台风、龙卷风等大气涡旋会引发灾害。海洋中也有涡旋，例如神秘莫测的百慕大三角区的涡旋，冷、暖洋流交汇处出现的冷涡和暖涡等。绕流流动常出现尾涡，例如飞机、轮船后面的尾涡。涡旋运动往往伴随机械能的耗散，表现为被绕流物体所受阻力的增加。涡旋运动伴随机械能耗散的性质被水利工程所利用。例如在水坝泄洪口处设置消能坎，人为地制造涡旋以消耗水流动能，保护坝基。
流场的旋度????V，若全流场??0，则流动为无旋流动，若部分区域??0则为有旋流动。因为????0，所以涡旋场是无源场。
区分无旋运动和有旋运动是研究无粘流动时遵循的基本原则。Kelven速度环量守恒定理和Helmholtz关于涡量守恒的几个定理，为区分这两类流动提供了重要的理论基础。 二、涡旋运动的描述 1、几何描述
类似于速度场的流线、流面和流管，在涡量场中引入涡线、涡面和涡管。任意时刻t，在涡量场中画一系列曲线，曲线上任意点的切向为该点?方向，这些曲线就是涡线，因而涡线微分方程为
?dxdydz， ???x(x,y,z,t)?y(x,y,z,t)?z(x,y,z,t)（5-1）
其中t为参量。涡线上的流体微团的旋转（分）运动在该瞬时可描述为绕各对应点的切线转动。过流场中的任意曲线（闭曲线）上各点作涡线，这些涡线形成的曲面（管状曲面）就是涡面（涡管）。 2、两个基本物理量
在流场中取一曲面?，定义该曲面上的涡通量为
J?????ds。
? （5-2）
在流场中取一闭曲线L，定义该曲线上的速度环量为
???V?dl。
L （5-3）
若单连通的空间曲面?的边界曲线为L，曲面?的法向与曲线L的环绕方向成右手螺旋关系，据Stokes定理，
??V?ds?????ds， ?V?dl?????L （5-4-1）
即曲线L上的速度环量等于以该曲线为边缘线的曲面?上的涡通量。若空间曲面?是双连通曲面，如图所示，内、外边缘曲线分别为L1和L2，环绕方向如图所示，则
? （5-4-2）
??ds?????L1?L2V?dl。
L1 L2
同轴圆柱间流体绕对称轴的旋转流动，其横截面就是双连通曲面。 §5.2 涡量方程
下面推导控制涡量变化的动力学方程。对N-S方程的如下形式
?V2??V?p????????V?F????2V??(??V) ?t?3?2?两边同时取旋度，并记f???V?2?3?(??V)，可得
1
???p???(??V)???F???()???f ?t?其中
??(??V)???(?c?V)???(??Vc)
??(??V)?(V??)??(???)V?V(???)。
考虑到????0，?????p?????p，最后得到 ???2????d?????p?(???V)??(??V)???F????f。 dt?2
（5-5）
此即涡量满足的动力学方程。若流体无粘（f?0）、正压（则得到Helmholtz 方程：
????p?2?0）且体力有势（??F?0），
d??????V?(???)V。 dt （5-6）
某时刻在流体中取一小段细涡管，为表述方便起见，以该涡管的涡量方向为z轴建立直角坐标系，对该涡管，
????V?(???)V???(??ui?vj??u?v?w?w ??)k??k???x?y?z?z?z ???V??u?v??(?)k ?z?x?y其中V??ui?vj代表与局地涡量垂直的速度分量。以?S?代表该涡管横截面积，容易证明
?u?v1d?S?。 ???x?y?S?dt可见??(?u?v?)k反映涡管横截面的胀、缩对于涡量的影响。在不考虑其它外界作用的情况下，组成?x?y该微元涡管的流体微团垂直于旋转轴的膨胀或收缩必然由于引起转动惯量的改变进而改变涡量的大小。从另一个角度来看，由于涡管是物质管，由于涡管强度的守恒（设流体理想、正压、体力有势），?S?的变化必然伴随?的变化。对于不可压缩流体，?S?的增、减，必对应微元长度?l的减、增(??V?0?????u?v??)，因而此时可认为涡量的变化由涡管沿轴向的伸缩所致，故称之为涡管的?z?x?y伸缩效应。同样，由于涡管是物质管，?V?不为零必然导致涡管的扭曲，涡管扭曲引起涡量方向的改变。?z这种由于涡线取向的改变而使涡度改变的机制称为涡线的翻转效应。
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例5-1 理想不可压缩流体在重力场作用下的定常平面运动，证明沿流线涡量保持不变。 证明：满足诸条件时有
d??(???)V， dt对于平面流动，
?d??0,w?0，因而???k，(???)V?0，即?0。定常流动迹线即流线，故?zdt沿流线涡量保持不变。涡量的保持性是对流体团而言的，是随体的，不是局地的。
§5.3环流变化定理
物质线上的速度环量反映张在该物质线上的物质面的涡旋运动性质，本小节我们研究流动过程中物质线上的速度环量所满足的动力学方程，了解那些动力学因素能够影响物质线的速度环量以及以何种形式影响。
物质线上的速度环量的变化率
d??dt其中
?LdV??r???dt?LdVd?r， ??r??V?dtdtLd?ld?r??r?r?d?r??r?dr????V?r??r??V?r???V， dtdtdtdt因V是单值函数，
2?V2?V??V??????0， ??2?LL故有
d??dt将N-S方程代入（5-7）式得
?LdV??r。 dt （5-7）
d??dt若体力有势则
?F??r??LL?p???r????2V??r??LL?3?(??V)??r。
（5-8）
?F??r?0。若流体正压?L?p???r???P??r?0。若流体无粘，则（5-8）式最后两
L项消失。若流动同时满足这三个条件，则
d??0，即物质线上的速度环量守恒，此即开尔文定理。 dt§5.4涡旋运动的保持性
一、拉格朗日涡旋保持性定理
假设某时刻某部分流体内无旋，那么，该时刻这部分流体内的任意物质线的速度环量（也即张在该物质线上的物质面的涡通量）为零。若流体理想、正压且体力有势，根据开尔文定理，此前或此后该物质线的速度环量（也即张在该物质线上的物质面的涡通量）始终为零，即这部分流体中的任意物质面上恒有
??ds?0。 ???由于曲面?是任意选取的（大小、形状、法向都任意），上式意味着该部分流体中处处恒有??0。上述内容即拉格朗日涡旋保持性定理。反过来说，若流体理想、正压且体力有势，如果某部分流体某时刻
有旋，那么此前或此后该部分流体都有旋。
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二、亥姆霍兹涡面及涡管保持定理
若流体理想、正压且体力有势，若某时刻某物质面是涡面（涡管），那么以前及以后的任意时刻该物质面都是涡面（涡管）。涡面和涡管跟随流体一起运动。证明如下：
某时刻t任取同时为涡面的物质面?，?上的涡通量等于零。由开尔文定理知，以前和以后任意时刻该物质面上的涡通量恒为零。考虑到该物质面t时刻是涡面，组成该物质面的各面元法向不是任意的，故只能得出?n?0，这说明该物质面始终是涡面。涡管是管状的涡面，因此此结论对构成涡管的物质管也成立。不仅涡面和涡管，涡线也同样具有保持性。某一时刻组成涡线的流体质点将永远组成涡线，涡线跟随物质线运动。 三、涡管强度保持定理。
若流体理想、正压且体力有势，根据开尔文定理，物质管截面上的涡通量守恒；另一方面，涡管具有保持性，即涡管随构成涡管的物质管一起运动；涡管强度即物质管截面上的涡通量，因此涡管强度守恒。
以上定理全面描述了在理想、正压、体力有势条件下涡旋的随体变化规律。首先，我们看到流体的涡旋运动性质是保持的。有旋的流体团永远有旋，无旋的流体团永远无旋。其次，对有旋运动，涡线、涡面、涡管保持定理成立，流体质点和所在涡线、涡面、涡管一起运动，并且在运动过程中物质面上的涡通量（对应物质线上的速度环量）以及涡管强度保持不变。
例5-2理想不可压缩流体在重力场作用下从静止开始的任何运动是否都是无旋的？
§5.5 涡旋的产生和扩散
一、流体斜压性引起的涡旋运动
设流体理想、体力有势，则
??p?d??p????p????dr????????ds??ds。 ?2??dt?????L?? （5-9）
考虑图中所描述的简单而有具代表性的情形。假设初始时刻密度和压力的分布如图，图中??和?p被描绘为位于曲面A内的常矢量。根据（5-9）式，这将会引起逆时针方向的环流。引起环流的过程可如
下解释。在同一水平面上位于右边的较轻的单位体积流体和位于左边较重的单位体积流体一样受到相同的向上的压强梯度力（??p）。在没有其他因素的影响下，较轻的流体就会比较重的流体以更快的速度上升，平行于等压线的物质线逆时针转动，整个流体团逆时针转动，从而产生沿周线C的速度环量。这种运动将最终使等压面与等密度面趋于一致。再来看大气斜压性引起的环流。把地球近似看成圆的，大气等压面是以地心为球心的球面。由于日照的不同，大气等密度面不是球面，同一高度上赤道比北极温度高，造成同一高度上赤道比北极大气密度低，所以等密度面出现如图的倾斜。等密度面一旦发生倾斜，
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根据（5-9）式，图中黄色物质线就会出现非零的?，于是就有了如图所示的经向环流。 二、无势体力引起的涡旋运动
设大气流动为理想流体流动，真实体力F?g，在地转参照系下，需考虑惯性力。惯性离心力是有势体力，科氏力会影响物质线速度环量。此时速度环量满足方程
d?????p????ds?2????Vr??dr。 2dt?ΣL （5-10）
以北半球信风为例，大气斜压性引起大气在地表自北向南流动，科氏力在地表引起纬向的环流（站在北
极看是顺时针的），使得地表大气流向右偏，从而形成自东北向西南的信风。 三、粘性引起的涡量产生和扩散
放在转盘上的圆柱形水桶内装有水，初始圆盘静止，现在启动转盘，临近桶壁的流体瞬间被“搓”出涡旋，宏观上表现为桶壁附近流体的强剪切。这是粘性引起涡旋运动的一个例子。桶内的流动可看成不可压缩流体的二维流动，并且是轴对称的圆形流动，涡量方程化简为
?????2?。 （5-11） ?t 公式（5-11）是一个扩散方程 ，扩散系数为?。该方程表示有旋的流体在流动过程中涡量发生扩散，
涡量从涡量大的流体向涡量小的流体扩散。对桶内的上述流动而言，转盘启动瞬间桶壁处有旋，然后涡旋逐渐向桶中心扩散，直至达到涡量均匀分布，此时流体作类似于刚体的转动。对比热量扩散方程
?T???2T ?t对应的热传导过程可以帮助我们了解涡量扩散的过程。涡量扩散过程和规律与热传导过程类似，最终要达到涡量的均匀分布。
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