发布时间 : 星期六 文章2018年数学专题14定积分求值问题黄金解题模板更新完毕开始阅读fa3b757deffdc8d376eeaeaad1f34693daef1037
专题14 定积分求值问题
【高考地位】
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等. 【方法点评】
类型一 利用微积分基本定理求定积分
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 计算函数f(x)的定义域并求出函数f(x)的导函数f'(x)；
第二步 求方程f'(x)?0的根；
第三步 判断f'(x)在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值.
例1 ??0sinxdx的值为（ ）
A．
?2 B．? C．1 D．2 【答案】D
【变式演练1】下列计算错误的是 （ ） A．?π1?πsinxdx?0 B．?0xdx?23
ππC．?2cosxdx?2?2?πcosxdxπ20D．
??πsin2xdx?0
【答案】D 【解析】
1
试题分析：A选项，
?sinxdx???cosx????0，所以A正确；B选项，?1?23?2xdx??x2??，所以B
1????0?3?03正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。 考点：定积分的计算。 【变式演练2】若S1??21x2dx,S212??1xdx,S23??1exdx,则S1S2S3的大小关系为（ ）
A．S1?S2?S3 B．S2?S1?S3 C．S2?S3?S1
D．S3?S2?S1
【答案】B 【解析】 试题分析：S11?3x3|27221?3,S2?lnx|1?ln2,S3?ex|1?e2?e?S2?S1?S3 考点：定积分运算 【变式演练3】
?2??11?x?11?x2?x3??dx?（ ）
A．ln2?78 B．ln2?72 C．ln2?5178 D．ln2?8 【答案】A
考点：定积分的应用. 【变式演练4】若?a1(2x?1x)dx?3?ln2(a?1)，则a的值是___________．
【答案】a?2 【解析】 2试题分析：由
?a(2x?1x)dx?(x2?lnx)|a2lna?1?3?ln2，得??a?1?311?a??lna?ln2，所以a?2．考点：定积分的运算． 【变式演练5】
?2?2(sinx?1)dx?_____________．
2
【答案】4 【解析】
试题分析：由题意得
?2?2(sinx?1)dx?(cosx?x)|2?2?(cos2?2)?[cos(?2)?2]?4．
考点：定积分的计算．
lgx??【变式演练6】设f(x)??ax??3t2dt?0?【答案】1
x?0x?0若f(f(1))?1，则a? ．
考点：1．函数的表示；2．定积分运算． 【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（ ）
A．23 B．53 C．【答案】C 【解析】
3235 D． 33?x3?32试题分析：面积为??3?x?2x?dx???． ?x2?3x?|1??3?33?3?12考点：定积分．
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
使用情景：被积函数的原函数不易求出 解题模板：第一步 画出被积函数的图像；
第二步 作出直线计算函数x?a,x?b,y?0所围成的图形； 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
3
例2 计算定积分
?1204?xdx.
【答案】
?3?32. 考点：定积分的计算．
f(x)??【变式演练8】设??1?x2,x?[?1,1)2??x2，则?1,x??1,2???1f(x)dx的值为（ ）
A．?2+43 B．?2?3
C．?4?43 D．?4?3
【答案】A 【解析】 试题分析：
?21?1f(x)dx??1?x2dx??21(x2?1)dx?12??12?(13x3?x)|2?4?11?2+3
,故选A．
考点：定积分． 【变式演练9】定积分
?309?x2dx的值为（ ）
A．9? B．3? C．94? D．92? 【答案】C 【解析】
?试题分析：令x?3sint,则9?x2?3cost,dx?3cost,t?[0,?22],则?309?xdx?9?2cos20tdt??9?21?cos2t9??1??02dt??2???sin2t2??9?,故应选C?220?．
??4考点：定积分及运算．
4