发布时间 : 星期日 文章2015年江苏省高考数学试卷(备战高考)更新完毕开始阅读fa84d69a3a3567ec102de2bd960590c69fc3d8c5
或演算步骤）
15．（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7， 所以BC=
．
，则sinC=
=
=
，
（2）由正弦定理可得：∵AB＜BC，BC=角，
＞2，
，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大
∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2×
=
．
==．
【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证：
（1）DE∥平面AA1C1C； （2）BC1⊥AB1．
第13页（共28页）
【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C； （2）【方法一】先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1； 再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC； 最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．
【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直．
【解答】证明：（1）如图所示，由据题意得，
E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC； 又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C；
（2）【方法一】因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC， 因为AC?平面ABC， 所以AC⊥CC1； 又因为AC⊥BC， CC1?平面BCC1B1， BC?平面BCC1B1，
第14页（共28页）
BC∩CC1=C，
所以AC⊥平面BCC1B1； 又因为BC1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC；
因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 所以BC1⊥平面B1AC； 又因为AB1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1．
【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1，
以C1为原点建立空间直角座标系，
C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，如图所示； 设BC=CC1=a，AC=b，
则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0）； ∴∴∴
=（﹣b，a，﹣a），?⊥
=（0，﹣a，﹣a），
=﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）=0， ，
即AB1⊥BC1．
【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考
第15页（共28页）
查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题．
17．（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t． ①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
（其中a，b为常数）模型．
【分析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=
，建立方程组，即可求a，b的值；
（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②设g（t）=
，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公
路l的长度最短，并求出最短长度．
【解答】解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y=，得，
第16页（共28页）