发布时间 : 星期二 文章（五年高考真题）2016届高考数学复习 第九章 第四节 双曲线 理（全国通用）更新完毕开始阅读fab16370c67da26925c52cc58bd63186bdeb9214
第四节 双曲线
考点一 双曲线的定义及标准方程
1．(2015·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E916上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) A．11
B．9
C．5
D．3
x2y2
解析 由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B. 答案 B
2．(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ) A．x－＝1
4C.－x＝1 4
2
y2
2
B.－y＝1 4D．y－＝1
4
2
x2
2
y2x2
解析 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在
y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.
答案 C
12
x2y25
3．(2015·广东，7)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则
ab4
双曲线C的方程为( ) A.－＝1
43C.－＝1 916
x2y2x2
B.x2
16
－＝1 9
y2
y2
D.－＝1 34
x2y2
c52
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，ba4
＝c－a＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选B.
169答案 B
2
2
x2y2
x2y2
4．(2014·天津，5)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋
ab10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 520
x2y2
B.x2
20
－＝1 5
y2
3x3yC.－＝1 25100
22
3x3yD.－＝1 10025
22
解析 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5，0)，所以a＋b＝c＝25，解得a＝5，b＝20，故双曲线方程为－
520＝1.选A. 答案 A
3
5．(2013·广东，7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C2的方程是( ) A.－＝1 45C.－＝1 25
2
2
2
2
2
babax2y2
x2y2
B.－＝1 45D.－＝1 25
x2y2x2
x2y2y2
解析 由曲线C的右焦点为F(3，0)，知c＝3. 3c3
由离心率e＝，知＝，则a＝2，
2a2故b＝c－a＝9－4＝5， 所以双曲线C的方程为－＝1.
45答案 B
考点二 双曲线的几何性质
1．(2015·四川，5)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条
3渐近线于A，B两点，则|AB|＝( ) A.43
3
B．23
C．6
D．43
2
2
2
2
2
x2y2
y2
解析 焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x－＝0，将x＝2
3代入渐近线方程得y＝12，y＝±23，∴|AB|＝23－(－23)＝43.选D. 答案 D
2．(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A.5
B．2
C.3
D.2
2
y2
x2y2
解析 如图，设双曲线E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|
ab＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点
x2y2cM(x1，y1)的坐标代入2－2＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝aba答案 D
a2＋b2＝2，选D. a2
3．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C2→→
的两个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是( ) 33??
，? 3??3
?2222?C.?－，?
3??3A.?－
33??
，? 6??6
?2323?D.?－，?
3??3B.?－
2
x2
2
x2?2
?－y＝1，x222
解析 由题意知M在双曲线C：－y＝1上，又在x＋y＝3内部，由?2得y222??x＋y＝3，
＝±
333
，所以－ 答案 A 4．(2014·广东，4)若实数k满足0 A．离心率相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．焦距相等 x2 25 － y2 9－k＝1与曲线 －＝1的 25－k9 x2y2 解析 由0 5．(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F为双曲线C：x－my＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 B．3 C.3m D．3m 2 2 x2y2 解析 ∵双曲线的方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3. 3m3 答案 A x2y2 6．(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上 ab9 存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( ) 44A. 3 5B. 3 9C. 4 D．3 解析 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)－(|PF1|－|PF2|)＝9b－4a，即4|PF1|·|PF2|＝9b－4a，又4|PF1|·|PF2|＝9bb4?b??3b??3b?9ab，因此9b－4a＝9ab，即9??－－4＝0，则?＋1??－4?＝0，解得＝aa3?a??a??a? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?b＝－1舍去?，则双曲线的离心率e＝ ?a?3?? 答案 B ?b?5 1＋??＝. ?a?3 2 x2y2x2y2 7．(2014·山东，10)已知a>b>0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝abab1，C1与C2的离心率之积为A．x±2y＝0 C．x±2y＝0 3 ，则C2的渐近线方程为( ) 2 B.2x±y＝0 D．2x±y＝0 a2－b2a2＋b2a2－b2a2＋b2 解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·aaaa3344444 ，所以a－b＝a，即a＝4b，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝241 ±x，即x±2y＝0. 2＝答案 A 8．(2014·大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( ) 1A. 4 1B. 3 C.2 4 D.2 3 解析 由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.∵e＝＝2，∴c＝2a，∴|F1F2|＝4a. |AF2|＋|F1F2|－|AF1| ∴cos∠AF2F1＝ 2|AF2|·|F1F2|（2a）＋（4a）－（4a）1＝＝，故选A. 2×2a×4a4答案 A 2 2 2 2 2 2 ca