发布时间 : 星期六 文章2016年高考四川文科数学试题及答案（word解析版）151118[精]更新完毕开始阅读fb08922ff021dd36a32d7375a417866fb84ac0ed
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，文1，5分】设i为虚数单位，则复数?1?i??（ ）
（A）?x?1?x?3? （B）?x|?1?x?1? （C）?x|1?x?2? （D）?x|2?x?3? 【答案】C
【解析】试题分析：由题意，(1?i)2?1?2i?i2?2i，故选C．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （2）【2016年四川，文2，5分】设集合A??x1?x?5?，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（ ） （A）6 （B）5 （C）4 （D）3 【答案】B
【解析】由题意，AZ??1,2,3,4,5?，故其中的元素个数为5，故选B．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年四川，文3，5分】抛物线y2?4x的焦点坐标是（ ）
（A）?0,2?（B）?0,1?（C）?2,0?
（D）?1,0?
【答案】D
【解析】由题意，y2?4x的焦点坐标为?1,0?，故选D．
2【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
???（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数y?sin?x??的图象，只需把函数y?sinx的图象上所有的点（ ）
3??【答案】A
??个单位长度（B）向右平行移动个单位长度33 ??（C）向上平行移动个单位长度（D）向下平行移动个单位长度
33
（A）向左平行移动
????【解析】由题意，为得到函数y?sin?x??，只需把函数y?sinx的图像上所有点向左移个单位，故选A．
3?3?【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键． （5）【2016年四川，文5，5分】设p:实数x，y满足x?1且y?1，q:实数x，y满足x?y?2，则p是q的
（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由题意，x?1且y?1，则x?y?2，而当x?y?2时不能得出，x?1且y?1．故p是q的充分不必要
条件，故选A．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （6）【2016年四川卷，文6，5分】已知a函数f?x??x3?12x的极小值点，则a?（ ）
（A）?4（B）?2（C）4（D）2
【答案】D
【解析】f??x??3x2?12?3?x?2??x?2?，令f??x??0得x??2或x?2，易得f?x?在??2,2?上单调递减，在
?2,???上单调递增，故f?x?极小值为f?2?，由已知得a?2，故选D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． （7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入
研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.12?0.05，lg1.3?0.11，lg2?0.30) dgdfhthrth
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（A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 【答案】B
【解析】设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130??1?12%??200，200lg2?lg1.30.3?0.11200,?n???3.8,?n?4，故选B．，两边取常用对数得nlg1.12?lg 130lg1.120.05130【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （8）【2016年四川，文8，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他
在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所 示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2．则 输出v的值为（ ）
（A）35 （B）20 （C）18 （D）9 【答案】C
【解析】初始值n?3，x?2，程序运行过程如下表所示v?1，i?2，v?1?2?2?4，i?1，
v?4?2?1?9，i?0，v?9?2?0?18，i??1，跳出循环，输出v?18，故选C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行
解答．
n?1.12n?（9）【2016年四川，文9，5分】已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足
AP?1，PM?MC，则BM的最大值是（ ）
（A）【答案】B
【解析】如图所示，建立直角坐标系．B?0,0?，C23,0，A∴点M的轨迹方程为：x?337?6337?2334349 （B） （C） （D）
44442???3,3．∵M满足AP?1，
???2??y?3??1，令x?2?cos?，y?3?sin?，
2???0,2??．又PM?MC，则M?22131?3?3?cos?,?sin??，∴
222?2?21??49?3??31?37?BM??3?cos?????sin????3sin?????．
243?4?2??22??249∴BM的最大值是，故选B．
4【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
??lnx,0?x?1,（10）【2016年四川，文10，5分】设直线l1，l2分别是函数f(x)??图象上点P1，P2处的切线，
lnx,x?1,?l1与 l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则?PAB的面积的取值范围是（ ）
（A）?0,1? （B）?0,2? （C）?0,??? （D）?1,??? 【答案】A
【解析】解法1：设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1?x2)，易知x1?1，x2?1，kl??111，?x1x2?1，则直线l1： ,kl2?x1x2y??x1?1?lnx1，l2:y?x?lnx2?1，与y轴的交点为(0,1?lnx1),(0,lnx2?1)，设a?x2?1，则交点横x1x2122?，与y轴的交点为(0,lna?1),(0,lna?1)，则S?PAB??2?111，故S?PAB?(0,1) 2a?a?a?aaa1解法2：特殊值法，若x1?x2?1，可算出S?PAB?1，x?1，故S?PAB?1，排除BC；令x1?,x2?2，算
2出S?PAB?1，故选A，故选A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学
转化思想方法，属中档题．
坐标为
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第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2016年四川，文11，5分】sin750?? ．
【答案】12
【解析】由三角函数诱导公式sin750??sin(720??30?)?sin30??12． 【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
（12）【2016年四川，文12，5分】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【答案】33
【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S?12?23?1?3，高为1，
三棱锥的体积为V?1133Sh?3?3?1?3．
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题． （13）【2016年四川，文13，5分】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则logab为整数的概
率= ________． 【答案】16
【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为a,b，作为作为对数的底数与真数，共有A24?12个不同的基本事件，
其中为整数的只有log8,log21239两个基本事件，所以其概率P?12?6．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． （14）【2016年四川，文14，5分】若函数f?x?是定义R上的周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??4x，则f????5?2???f?2?? _______．
【答案】?2
【解析】∵函数f?x?是定义R上的周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??4x，∴f?2??f?0??0，
f????5?2???f????52?2????f????1?2????f??1?1?2????42??4??2，则f????5?2???f?2???2?0??2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键． （15）【2016年四川，文15，5分】在平面直角坐标系中，当P?x,y?不是原点时，定义P的“伴随点”为
P??y?x??x2?y2,x2?y2?，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点?A?，则点A?的“伴随点”是点A；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】②③
【解析】对于①，若令P?1,1?，则其伴随点为P???11??11??2,?2??，而P???2,?2??的伴随点为??1,?1?，而不是P，故错误；
对于②，设曲线f?x,y??0关于x轴对称，则f?x,?y??0对于曲线f?x,y??0表示同一曲线，其伴随曲
线分别为f??y?x2?y2,?x?x2?y2??0与?f???y?x2?y2,?x?x2?y2???0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为 f??y?x???y?x??x2?y2,x2?y2???0与f??x2?y2,x2?y2???0的图像关于y轴对称，所以正确；对于③，令单位圆 上点的坐标为P?cosx,sinx?其伴随点为P??sinx,?cosx?仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y?kx?b
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?y?x?,上取点后得其伴随点?2消参后轨迹是圆，故错误．所以正确的序号为②③． 222?x?yx?y??【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力． 三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2016年四川，文16，12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制
定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照?0,0.5?，
?0.5,1?，……?4,4.5?分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的a值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．
说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数． 解：（1）∵1??0.08?0.16?a?0.40?0.52?a?0.12?0.08?0.04??0.5，整理得：2?1.4?2a，解得：a?0.3． （2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月
均用水量不低于3吨的频率为?0.12?0.08?0.04??0.5?0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30?0.12?3.6万．
?0.5， （3）根据频率分布直方图，得；0.08?0.5?0.16?0.5?0.30?0.5?0.42?0.5?0.48<0.48?0.5?0.52?0.74?0.5，∴中位数应在?2,2.5?组内，设出未知数x，
令0.08?0.5?0.16?0.5?0.30?0.5?0.42?0.5?0.52x?0.5，解得x?0.038；∴中位数是2?0.038?2.038．
【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积
频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型． 组距﹣ABCD中，PA?CD，AD//BC，?ADC??PAB?90?，（17）【2016年四川，文17，12分】如图，在四棱锥P?组距?1AD． 2（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM//平面PAB，并说明理由； （2）证明：平面PAB?平面PBD． 解：（1）解法1：
M为PD的中点，直线CM//平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE， 则ME//PA，∵ME?平面PAB，PA?平面PAB，∴ME//平面PAB．∵AD//BC， BC?AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE//AB．∵CE?平面PAB，AB?平面PAB， ∴CE//平面PAB．∵MECE?E，∴平面CME//平面PAB，∵CM?平面CME，∴CM//平面PAB． 解法2：
1取棱AD的中点M（M?平面PAD），点M即为所求的一个点．理由如下：因为AD//BC，BC?AD，
2CM?平面PAB． 所以BC//AM．所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM//AB．又AB?平面PAB，
（说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）．
（2）∵PA?CD，?PAB?90?，AB与CD相交，∴PA?平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴PA?BD，
1由（1）及B可得?BAD??BDA?45?，∴?ABD?90?，∴BD?AB，∵PAAB?A， C?CD?AD，
2∴BD?平面PAB，∵BD?平面PBD，∴平面PAB?平面PBD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理
论证能力，属于中档题．
cosAcosBsinC（18）【2016年四川，文18，12分】在?ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． ??abc（1）证明：sinAsinB?sinC；
6（2）若b2?c2?a2?bc，求tanB．
5abccosAcosBsinC?????1，∵A和B为三角形内 解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解为sinAsinBsinCsinAsinBsinC角 ，∴sinAsinB?0，则两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosA?sinAcosB?sinAsinB，
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BC?CD?