发布时间 : 星期日 文章利用导数研究函数的性态更新完毕开始阅读fb334c1014791711cc79172d
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标题 ................................................................. 1 中文摘要 .............................................................. 1 1. 函数的单调性 ....................................................... 1 1.1单调性判别法 .................................................... 1 1.2单调区间的划分 .................................................. 2 1.3典型例题分析 .................................................... 2 2. 函数的极值 ......................................................... 3 2.1极值的概念 ...................................................... 3 2.2极值存在的条件 .................................................. 4 2.3典型例题解析 .................................................... 4 3. 函数的最大值、最小值问题 ........................................... 5 3.1闭区间上连续函数的最大值、最小值求法 ............................. 6 3.2应用问题的最值的求法 ............................................ 6 4. 函数的凸凹性 ....................................................... 7 4.1概念 ............................................................ 7 4.2定理 ............................................................ 8 4.3解题步骤 ........................................................ 8 4.4经典题型 ........................................................ 9 5. 曲线的渐近线 ....................................................... 9 5.1水平渐近线 ...................................................... 9 5.2垂直渐近线 ...................................................... 9 5.3斜渐近线 ........................................................ 9 6. 描绘函数图像 ...................................................... 10 6.1简单介绍及描绘图像步骤 ......................................... 10 6.2典型例题分析 ................................................... 11 参考文献 ............................................................. 13 致谢 ................................................................ 14
导数是数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带.它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些问题的有力工具.应借助于导数在函数中的应用,深刻领会在利用导数探究函数的单调性、极值(与最值)这一过程中的原理. 运用导数来研究函数的性态,它包括如下内容：单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点、渐近线、函数的图像.下面我们通过六部分内容来详细说明一下.
⒈ 函数的单调性
中学《数学》用代数的方法讨论了一些函数的性态如单调性、极值性、奇偶性、周期性等.由于受方法的限制讨论得既不深刻也不全面,且计算繁琐,也不易掌握其规律.而导数为我们深刻、全面地研究函数的性态提供有力的数学工具.回顾以前知识可以知道,导数的几何意义也就是切线的斜率,导数的实际意义就是变化率(如同上坡的变化率是坡度等),而物理意义如同位移之如速度、速度之如加速度等等.
1.1 单调性判别法
定理1 若函数f(x)在(a,b)内可导,则
⑴f(x)在(a,b)内单调递增?f?(x)?0,(?x?(a,b)); ⑵f(x)在递减?f?(x)?0,(?x?(a,b)). 定理2 若函数f(x)在(a,b)内可导,则(a,b)内单调.
⑴ f(x)在(a,b)内严格递增? ①?x?(a,b),有f?(x)?0;②在(a,b)内的任何子区间上
f?(x)不恒等于0.
⑵ f(x)在(a,b)内严格递减? ①?x?(a,b),有f?(x)?0;②在(a,b)内的任何子区间上
f?(x)不恒等于0.
推论 设函数f(x)在(a,b)内可导.若f?(x)?0 (f?(x)?0),则f(x)在(a,b)内严格递增(严格递减).
但仍需注意,本推论只是严格单调的充分条件.例如f(x)?x在R上是严格单调的,但
3f?(x)?3x2并不是在R上恒大于0的,因为f?(0)?3?02?0,即允许个别离散的点使得f?(x)?0.
满足方程f?(x)?0的点x0为函数f(x)的稳定点(又称驻点).
1.2 单调区间的划分
⑴ 函数单调区间的分界点可能是: 驻点或不可导点. ⑵ 求单调区间的步骤:
①求出函数的定义域;②求出可能的分界点:驻点或不可导点;
③用上述各点将定义域分成若干个小区间;④判断每个小区间上f?(x)的符号, 从而得出结论.
1.3 典型例题分析 例1 求y?6x?2?4lnx的单调区间. x分析：先求函数的定义域，再利用一阶导数为零的点和导数不存在的点将定义域划分为几个部分区间，然后分别确定函数在这些区间上的单调性。
2?4lnx的定义域为(??,0)?(0,??) x2412 y??6?2?,令y??0，则2(3x?2x?1)?0
xxx12即 3x?2x?1?0,x1?1,x2??
3 解 y?6x?列表如下：
x y? 1(??,?) 3+ ?1 31(?,0) 3— (0,1) — 1 0 (1,??) + 0 y ? ? 13? ? ?函数的单调增区间为(??,?)、(1,??)； 函数的单调减区间为(?,0)、(0,1).
例2 证明：当0?x1?x2?13?2时，不等式
tanx2x2成立. ?x1tanx1 分析：
tanx2x2tanx?tanx2tanx1?可变形,故只需证明在(0,)内是单调增的 . ?x2x2x1x1tanx1tanx x证 令 f(x)?xsec2x?tanxx?sinxcosx? f?(x)? 222xxcosx
当0?x??2时，sinxcosx?sinx?x,?f?(x)?0?f(x)??tanx在(0,)内是单调增的.
2x ?当0?x1?x2??2时，
tanx2x2tanx2x2,即. ??x1x1tanx1tanx1 通过上题我们可以知道利用函数的单调性证明不等式的方法是:先构造一个辅助函数
f(x),f(x)等于不等号两端的式子的差(一般用大的减去小的),然后再利用导数判断该函数的单调
性,让f(x)与0比较大小,从而来证明不等式.这也是证明不等式的一种方法,我们以后可以用这种方法证明一些不等式.
2.函数的极值
函数的极值不仅在实际生活中占有重要的地位,而且也是函数性态的一个重要特征. 2.1极值的概念.
定义 设函数f(x)在区间I有定义,若x0?I,且存在x0的某邻域U(x0)?I,?x?U(x0),有
f(x)?f(x0)(f(x)?f(x0)),则称x0是函数f(x)的极大值点（极小值点）,f(x0)是函数f(x)的
极大值（极小值）,极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.
注 极值点x0必在区间I的内部（即不能是区间I的端点）f(x0)是函数f(x)的极值是与函数
f(x)在x0的某个邻域U(x0)上的函数值f(x)比较而言的,因此极值是一个局部的概念.函数f(x)在区间I上可能有很多的极大值（或极小值）,但只能是一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）若函数f(x)在区间I的内部某点x0取最大值（最小值）,则x0必是函数f(x)的极大点（极小点）.
2.2极值存在的条件
费马定理 若函数f(x)在点x0可导,且x0为f(x)的极值点,则f?(x0)?0.这就是说可导函数在点x0取极值的必要条件是f?(x0)?0.
注 函数连续但不可导的点x0处,f(x0)也可以为极值,另一方面,使f?(x0)?0的x?x0也未必使f(x0)为极值.应检查充分性.
定理1（极值的第一充分条件）设f(x)在点x0连续,在某邻域U(x0;?)內可导.
⑴若当x?(x0??,x0)时f?(x)?0,当x?(x0,x0??)时f?(x)?0,则f在点x0处取得极小值.
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