发布时间 : 星期日 文章利用导数研究函数的性态更新完毕开始阅读fb334c1014791711cc79172d
定理1 设函数f(x)在开区间I是凸函数（凹函数）??x1,x2?I,且x1?x2,有
f?(x1)?f?(x2)(f?(x1)?f?(x2)).
推论 若函数f(x)在开区间I存在二阶导数,
⑴?x?I,有f??(x)?0,则函数f(x)在区间I上严格凸函数； ⑵?x?I,有f??(x)?0,则函数f(x)在区间I上严格凹函数.
定理2 设函数f(x)在开区间I可导,函数f(x)在I内是凸函数（凹函数）?曲线y?f(x)位于它的任意一点切线. 4.3解题步骤
若函数f(x)存在二阶导数,讨论函数f(x)得凹凸性和拐点可按下列步骤进行: 第一步：求函数y?f(x)二阶导函数f??(x)；
第二步：令f??(x)?0,求解.其解将函数f(x)的定义域分成若干个开区间；
第三步：判别f??(x)在每个小区间的符号,设f??(c)?0,由下表可知函数f(x)得凹凸性和拐点. (a,c) +(严凸) c 0 0 0 0 (c,b) -（严凹） +(严凸) +(严凸) -（严凹） 曲线y?f(x)上的点(c,f(c)) 拐点 拐点 非拐点 非拐点 f??(x) 4.4经典题型
-（严凹） +(严凸) -（严凹） (f(x)) 例7 讨论函数f(x)?x?2x?1的凹凸性及其拐点.
32 解 函数的定义域是R,f?(x)?4x?6x ,f??(x)?12x(x?1)令f??(x)?0其解是0与1.它
43们将定义域R分成三个区间：(??,0),(0,1),(1,??).列表如下： (??,0) 0 0 (0,1) _ 1 0 (1,??) + f??(x)
+
f(x)
严凸 拐点 严凹 拐点 严凸 显然f(x)在(??,0)与(1,??)是严凸,在(0,1)严凹.曲线上的点(0,1与(1,0）都是拐点. ） 注 若(x0,f(x0))曲线y?f(x)的拐点,y?f(x)在x0的导数不一定存在.
5.曲线的渐近线
定义 当曲线C上动点P沿着曲线C无限远移时,若动点P到某直线l的距离无限趋近于0,则称直线l是曲线C的渐近线.
曲线的渐近线包括三种：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线.
5.1水平渐近线
若limf?x??b1,则y?b1是一条水平渐近线；又有limf?x??b2,则y?b2也是一条（若
x???x???b1?b2,则当然只能算一条）.
5.2垂直渐近线
f?x???（或limf?x???）则x?x0是一条垂直渐近线,这样的x0先由若存在x0,使lim??x?x0x?x0观察法观得,一般考虑分母为零处、对数的真数为零处.
5.3斜渐近线
y?ax?b是曲线y?f(x)的一条渐近线的充要条件是lim这里也可以改成x???.若a?0成立,即为水平渐近线.
x???f(x)?a,lim(f(x)?ax)?b.
x???x?x?3?的渐近线.
例8 求f?x??4?x?1?x?3?x?3??? 解 已知lim???,lim???.则x?1是曲线的垂直渐近线. x?14?x?1?x?14?x?1???222f(x)(x?3)21又有 a?lim?lim?
x??x??4x(x?1)x4??x?3?2x?x2?6x?9?x2?x?5x?95b?lim?fx?kx?lim??lim?lim???. ????x???x???x??x??4?x?1?4?x?1?4??4?x?1?4??15直线y?x?,即x?4y?5是曲线的渐近线.
44注 无穷区间的曲线y?f?x?具有什么样的性质才是具有渐近线？由观察不难得到以下的简易
判别法：设f?x??P?x?,当P?x?与Q?x?都是连续函数时,若Q?a??0且P?a??0,则直线Q?x?x?a是曲线y?f?x?的垂直渐近线.
P?x?当P?x?是n次多项式,Q?x?是m次多项式（f?x??）,若n?m?1则曲线y?f?x?有
Q?x?斜渐近线;若n?m,则曲线y?f?x?有水平渐近线.
当P?x?与Q?x?是无理函数时,沿P?x?与Q?x?的最高次幂分别是正数?与?,若????1则曲线y?f?x?有斜渐近线;若???则曲线y?f?x?有水平渐近线.
6.描绘函数图像
6.1简单介绍及描绘图像步骤
中学数学应用描点法描绘了一些简单函数的图像,但是描点法有缺陷.这是因为描点法所选取的点不可能很多,而一些关键性的点,如极值点、拐点等可能漏掉,曲线的单调性、凹凸性等一些重要的形态也没有掌握.因此,用描点法所描绘的函数图像常常与真实的函数图像相差很多.现在,我们已经掌握了应用导数讨论函数的单调性、极值性、凹凸性、拐点等的方法,从而就能比较准确地描绘函数的图像 .描绘函数的图像可按下列的步骤进行:
⑴确定函数y?f(x)的定义域;
⑵考察函数y?f(x)是否具有某些特性（奇偶性、周期性）;
⑶考察函数y?f(x)是否有垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线.如果有渐近线,将渐近线求出来;
⑷求出函数y?f(x)的单调区间、极值列表; ⑸求出函数y?f(x)的凹凸区间和拐点、列表;
⑹确定一些特殊点如曲线y?f(x)与坐标轴的交点,容易计算函数值f(x)的一些点(x0,f(x0)).
⑺综合上述讨论结果画出函数图象. 6.2 典型例题分析
x3 例9 作出函数y?的图形.
2(x?1)2x3 解 由题意知函数的定义域为(??,1)?(1,??),易知,(0,0)是函数y?与坐标轴的交22(x?1)x2x3(x?3),令y??0有,x1?0,x2?3是y?点,y??的两个驻点,x3?1是不可
2(x?1)32(x?1)2导点,y???3x,令y???0有, x4?0,?(0,0)是拐点,所以列表如下:
(x?1)4x (??,0) ? － 0 0 (0,1) ? 1 不存在 不存在 (1,3) － 3 0 ? (3,??) ? y? y?? x3y?2(x?1)2 0 ? ? ? ? 凹(0,0)拐点 ?凸 不存在 ?凸 278极小值 ? 凸yx21, ?limy???,?x?1是垂直渐近线, ? a?lim?limx??xx??2(x?1)2x?12xx3?x(x?1)22x2?x?b?lim(y?)?lim?lim?1, 22x??x??x??22(x?1)2(x?1)?
其斜渐近线为y?1x?1 2