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《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 17 页 共 13 页
第三章 多维随机变量及其概率分布
【内容提要】
一、二维随机变量及其分布函数
【定义】设X?X(?),Y?Y(?)是定义于随机试验E的样本空间?上的两个随机变量，则称(X,Y)
为二维随机变量，称F(x,y)?P?X(?)?x,Y(?)?y?为其联合分布函数，而称:
F1(x)?P?X(?)?x?及F2(y)?P?Y(?)?y?分别为X,Y的边缘分布函数。
二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)具有如下性质: ⑴．非负性: ?x,y?R，有0?F(x,y)?1；
⑵．规范性: ?x,y?R，有F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； ⑶．单调性: 当x(或y)固定不变时，F(x,y)是y(或x)的单增函数； ⑷．右连续性: ?x,y?R，有F(x?0,y?0)?F(x,y)；
⑸．相容性: ?x,y?R，有F(x,??)?F1(x),F(??,y)?F2(y)； ⑹．特殊概率: 若x1?x2,y1?y2，则
P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?0。
二、二维离散型随机变量
1．二维离散型随机变量及其概率分布律
2若二维随机变量(X,Y)的一切可能取值为离散值(xi,yj)?R，其中i,j?1,2,...，且取到这些值的
概率p(xi,yj)?P(X?xi,Y?yj)?0,i,j?1,2,...满足
1?i,j????p(xi,yj)?1，则称(X,Y)为二维
离散型随机变量，而称p(xi,yj)i,j?1为其联合概率分布律，记为:
??(X,Y)p(xi,yj),i,j?1,2,...。
⑴.X,Y的边缘概率分布律:
Xp1(xi)?P(X?xi)??p(xi,yj),Y1?j???p2(yj)?P(Y?yi)??p(xi,yj)；
1?i???⑵.X,Y的条件概率分布律:
YX?xipYX(yjxi)?p(xi,yj)p1(xi),XY?yjpXY(xiyj)?p(xi,yj)p2(yj)；
⑶.X与Y的相互独立???i,j?1,恒有p(xi,yj)?p1(xi)p2(yj)。
二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示:
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Xx1 x2 Y y1 p(x1,y1) y2 p(x1,y2) p(x2,y2) yn p(x1,yn) p(x2,yn) P(X) p1(x1) p1(x2) p(x2,y1) xm p(xm,y1) p(xm,y2) p(xm,yn) p1(xm) P(Y) p2(y1) p2(y2) p2(yn) 1 设D?R为平面区域，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数及其取值落在D内的概率为:
2F(x,y)?P?X?x,Y?y??2．常用二维离散型分布
xi?x,yj?y?p(xi,yj)，P?(X,Y)?D???p(xi,yj)。
(xi,yj)?D⑴．三项式分布:设n?1为自然数，0?p1,p2?p1?p2?1为常数，则三项式分布的联合分布律为：
n!p1ip2j(1?p1?p2)n?i?j P(X?i,Y?j)?，其中0?i,j?i?j?n，
i!j!(n?i?j)! 而其边缘分布律、条件分布律为：
n!p1ip2j(1?p1?p2)n?i?jii P(X?i)???Cnp1(1?p1)n?i，
i!j!(n?i?j)!0?j?n?in!p1ip2j(1?p1?p2)n?i?j P(Y?j)???Cnjp2j(1?p2)n?j，
i!j!(n?i?j)!0?i?n?j P(Y?jX?i)?pP(X?i,Y?j)j?Cnj?ip12(1?p12)n?i?j，其中0?p12?2?1，
P(X?i)1?p1p1P(X?i,Y?j)iin?i?j?Cnp(1?p)，其中0?p??1。 ?j212121P(Y?j)1?p2 P(X?iY?j)?⑵．二维超几何分布: 设1?n,M1,M2?N为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为： P(X?i,Y?j)?ijn?i?jCMCCM2N?M1?M21CnN，其中0?i,j?i?j?n；
而其边缘分布律、条件分布律为： P(X?i)?
0?j?n?i?ijn?i?jCMCCMN?M1?M212CnN?in?iCMCN?M11CnN，
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P(Y?j)?0?i?n?j?ijn?i?jCMCCMN?M1?M212nCN?jn?jCMCN?M22nCN，
jn?i?jP(X?i,Y?j)CM2CN?M1?M2? P(Y?jX?i)?， n?iP(X?i)CN?M1in?i?jP(X?i,Y?j)CM1CN?M1?M2? P(X?iY?j)?。 n?jP(Y?j)CN?M2⑶．二维Poisson分布: 设?1,?2?0为常数，则二维Poisson分布的联合分布律为:
i?j??1j?2?(?1??2),若0?j?i????j!(i?j)!e, P(X?i,Y?j)???其它?0,而其边缘分布律、条件分布律为： P(X?i)?0?j?i??1j?2i?jj!(i?j)!e?(?1??2)(?1??2)i?(?1??2)， ?ei! P(Y?j)?j?i?????1j?2i?jj!(i?j)!e?(?1??2)??1jj!e??1，
P(Y?jX?i)??1P(X?i,Y?j)?Cijp1j(1?p1)i?j，其中0?p1??1，
P(X?i)?1??2?2i?j??2P(X?i,Y?j) P(X?iY?j)??e。
P(Y?j)(i?j)!三、二维连续型随机变量
1．二维连续型随机变量及其概率密度函数
若二维随机变量(X,Y)的一切可能取值充满了某一平面区域，且存在一个函数p(x,y)?0，使其联合分布函数可表为F(x,y)?P?X?x,Y?y??xy??????????p(u,v)dudv，且??p(x,y)dxdy?????1，则
称(X,Y)为二维连续型随机变量，而称p(x,y)为其联合密度函数，记为(X,Y)2p(x,y)。
设D?R为平面区域，则二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数、联合密度函数满足：
?2F)的取值落在D内的，而(X,YF(x,y)?P?X?x,Y?y????p(u,v)dudv,p(x,y)??????x?yxy概率为P?(X,Y)?D??2．常用二维连续型分布
??p(x,y)dxdy。
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?1?S(D),若(x,y)?D⑴．均匀U(D): p(x,y)??，其中0?S(D)???平面区域D的面积；
?若(x,y)?D?0,⑵．二维指数分布e(r,?,?):二维指数分布的联合分布为:
??x??y?(?x??y?r??xy)?1?e?e?e,若x,y?0?， F(x,y)??其它??0,?(?x??y?r??xy)???(1?r?x)(1?r?y)?re,若x,y?0???F?， p(x,y)????x?y?0,其它?2其中?1,?2?0及0?r?1为常数，而其边缘分布及条件分布为:
X??x??x??1?e,若x?0?e,若x?0??， F1(x)?F(x,??)??,p1(x)?F1?(x)??其它其它???0,?0,??y??y??1?e,若x?0?e,若y?0??， F2(y)?F(??,y)??,p2(y)?F2?(y)??其它其它???0,?0,YYX?x??y(1?r?x)??(1?r?x)(1?r?y)?re,若x,y?0??p(x,y)?， pYX(x,y)???p1(x)?0,其它???x(1?r?y)??(1?r?x)(1?r?y)?re,若x,y?0??p(x,y)?。 pXY(x,y)???p2(y)?0,其它?XY?y⑶．二维?分布: 其联合密度、边缘密度及条件密度分别为(其中?,?,??0均为常数)
(X,Y)?????y??1??1??x?(x?y)e,若0?y?x??(?)?(?), p(x,y)???其它?0,X?????????1??xxe,若x?0???， p1(x)??p(x,y)dy???(???)???若x?0?0,?????1??yye,若y?0???， p2(y)??p(x,y)dx???(?)???若y?0?0,Y 20