发布时间 : 星期五 文章线性代数教案 第一章 行列式 - 图文更新完毕开始阅读fb9b73a4284ac850ad024264
南京信息工程大学 孟祥瑞
第一章 行列式
本章说明与要求:
行列式的理论是从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：
(1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法；
(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．
计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．
行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．
。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。
。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式
行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．
设有二元线性方程组 ?
(1)
?a11x1?a12x1?b1
?a21x1?a22x2?b2
用加减消元法知，当a11a22 – a12a21≠0时，有：x1?
b1a22?a12b2ab?b1a21， x2?112
a11a22?a12a21a11a22?a12a21(2)
这是一般二元线性方程组的公式解．但公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号
a11a12a21a22?a11a22?a12a21为二阶行列式．
它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
1
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据定义，易知(2) 中的两个分子可分别写成：b1a22?a12b2?b1b2a12a22，
a11b2?b1a21?a11a21b1b2，
记D?a11a21a12a22，D1?b1b2a12a22，D2?a11a21b1b2，则当D≠0时，方程组(1) 的解
(2)可以表示成：
b1x1?a12，
a11x2?b1ba22D1?2a11a12Da21a22ab2D2?21a11a12Da21a22，
(3)
象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．
首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的． x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．
?2x?4x2?1例1 用二阶行列式解线性方程组 ?1
? x1?3x2?2解：这时
21D?2414?2?3?4?1?2?0，D1??1?3?4?2??5，1323D2?1?2?2?1?1?3 ， 2因此，方程组的解是 x1?D1??5，x2?D2?3，
D2D2?a11x1?a12x2?a13x3?b1?对于三元一次线性方程组 ?a21x1?a22x2?a23x3?b2
?ax?ax?ax?b3223333?311 (4)
作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号
a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31a33 (5)
为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．
例2
2
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2?4213321?2?3?5?1?1?2?(?4)?3?2?2?3?2?1?(?4)?5?2?3?1??10 5令
a11D?a21a31a12a22a32a13a23a33b1，
a12a22a32a13a23a33，
a11D2?a21a31b1b2b3a13a23a33，
D1?b2b3a11D3?a21a31a12a22a32b1b2． b3DD1D，x2?2，x3?3 DDD当 D≠0时，(4)的解可简单地表示成： x1?
(6)
它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
?2x1? x2 ?x3 ?0?例3 解线性方程组 ?3x1?2x2?5x3?1
? x ?3x?2x?423?102?11解：D?32?5?28， D1?113?242D3?31?1021?21． 34DD47213D113，x2?2?，x3?3??． ?D284D28D28?112012?5?13，D2?31?5?47， 3?214?2所以，x1?ab0例4 已知?ba0?0，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．
101ab0解：?ba0?a2?b2，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时
101行列式等于零．
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．
思考题： 当a、b为何值时，行列式 D?aa2b?0． 2b 3
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§1.2 排列
在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1 由数码1，2，?，n组成一个有序数组称为一个n级排列．
例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．
数字由小到大的n级排列1234?n 称为自然序排列． 定义2 在一个n级排列i1i2?in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(is 例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7． 容易看出， 自然序排列的逆序数为0． 定义3 若排列i1i2?in 的逆序数N(i1i2?in )是奇数，则称此排列为奇排列，而是偶数的排列称为偶排列． 例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123?n是偶排列． 定义4 在一个n级排列i1?is?it?in中， 如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1?it?is?in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)． 如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412． 一般地，有以下定理： 定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变． 定理2 在所有的n级排列中(n≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为n!个． 2定理3 任一n级排列i1i2?in都可通过一系列对换与n级自然序排列12?n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性． 定理1证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为： a1a2?al i j b1b2?bmc1c2?cn 将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为： a1a2?al j i b1 b2?bmc1c2?cn 显然对数a1，a2，?al，b1，b2，?，bm和c1c2?cn来说，并不改变它们的逆序数．但当i 再讨论一般情况，设排列为： a1a2?al i b1b2?bmjc1c2?cn 将i与j作一次对换，则排列变为： a1a2?al j b1b2?bmi c1 c2?cn 这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，?，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列： a1a2?alb1b2?bmi j c1?cn 然后将数j与它前面的数i，bm?，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同． 4