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三角函数的图象与性质
一．【课标要求】
1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；
3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响
二．【命题走向】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法
预测2013年高考对本讲内容的考察为：
1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；
三．【要点精讲】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1y-?-2?-3?2-?2o3?2?2?2?5?23?7?24?x
y=cosx-4?-7?2-5?-3?21-1o?2?3?22?5?23?7?24?x
yyy=tanxy=cotx-3?2-?-?2o?2?3?2x-?-?2o?2?3?22?x
2．三角函数的单调区间：
????2k???(k?Z)， y?sinx的递增区间是?2k??，22?? 1
递减区间是?2k?????2，2k??3??(k?Z)； ?2?2k??(k?Z)， y?cosx的递增区间是?2k???，递减区间是?2k?，2k????(k?Z)，
????y?tanx的递增区间是?k??，k???(k?Z)，
22??3．函数y?Asin(?x??)?B （其中A?0，??0）最大值是A?B，最小值是B?A，周期是T?初相是?；其图象的对称轴是直线?x???k??2??，频率是f??，相位是?x??，2??2(k?Z)，凡是该图象与直线y?B的交
点都是该图象的对称中心
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横
坐标变为原来的
1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋?)的图象 ?1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(?＞0)或向?途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的右(?＜0＝平移
|?|5．由y＝Asin(ωx＋?)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ．．
6．对称轴与对称中心：
y?sinx的对称轴为x?k???2，对称中心为(k?,0) k?Z；
?个单位，便得y＝sin(ωx＋?)的图象。
?，0）?y?cosx的对称轴为x?k?，对称中心为(k???2,0)； 对于y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值
点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、?的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“y?Asin(?x??)、y?Acos(?x??)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
2
9．五点法作y=Asin（ωx+?）的简图： 五点取法是设x=ωx+?，由x取0、描点作图。
π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再22四．【典例解析】
题型1：三角函数的图象
例2．（2009辽宁理，8）已知函数f(x)=Acos(?x??)的图象如图所示，f()???22，则f0()=3（ ） A.?2211 B. C.- D. 33221π例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象
331π解析：y=sin（2x+）
331π2倍 ?横坐标扩大为原来的??????????y?sin（x?）纵坐标不变33π图象向右平移个单位1??????3????y?sinx
纵坐标不变3题型2：三角函数图象的变换
3倍?纵坐标扩大到原来的??????????y?sinx
横坐标不变另法答案：
1ππ1（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；
336311（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图
33象；
1（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx
3的图象。
例4．(2009山东卷理)将函数y?sin2x的图象向左平移图象的函数解析式是( ).
?个单位, 再向上平移1个单位,所得4 3
A.y?cos2x B.y?2cosx C.y?1?sin(2x?解析 将函数y?sin2x的图象向左平移
2?4) D.y?2sin2x
??个单位,得到函数y?sin2(x?)即
44y?sin(2x?)?cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
2y?1?cos2x?2cos2x,故选B.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009山东卷文)将函数y?sin2x的图象向左平移的函数解析式是( ).
A. y?2cosx B. y?2sinx C.y?1?sin(2x?2??个单位, 再向上平移1个单位,所得图象42?4) D. y?cos2x
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
题型3：三角函数图象的应用
例5．已知电流I与时间t的关系式为I?Asin(?t??)。 （１）右图是I?Asin(?t??)（ω＞0，|?|??2）
I300在一个周期内的图象，根据图中数据求I?Asin(?t??) 的解析式；
（２）如果t在任意一段
1秒的时间内，电流150-1900o1180tI?Asin(?t??)都能取得最大值和最小值，那么ω的最
数值是多少？
例6．（1）（2009辽宁卷理）已知函数f(x)=Acos(?x??)的图象如图所示，f()??-300小正整
?22，则f(0)=( ) 3图 4