发布时间 : 星期三 文章05-邱-图形初步、点、线、面-2013.4.28更新完毕开始阅读fc3e2931580216fc700afdce
卓越个性化教学讲义 =×180°（等量代换） =90° ∴ OP⊥OE（垂直定义） 整个证明过程由3部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。 例2、已知如图，∠AOC，∠BOD为对顶角，OE平分∠AOC，OE，OF互为反向延长线。 分析：（1）OE，OF互为反向延长线是指EOF为一条直线，即证明这类问题首先要克服视觉给我们带来的干扰，如∠1和∠2并不因为缺乏构成对顶角的必要条件。OE与OF互为反向延长线，而这目标。 （2）证明E、O、F三点共线通常采用∠EOF=180°，利用平角定义完成三点共线证明。 （3）为证明∠EOF=180°，只要证明∠1+∠AOF=180°，从已知∠AOC与∠BOD为对顶角，可推知A、O、B三点共线：即∠AOF+∠2=180°，只要证明∠1=∠2，题设中由∠AOC和∠BOD为对顶角又可知∠AOC=∠BOD，又由OE，OF分别为∠AOC和∠BOD平分线，正好创设了证明∠1=∠2的条件。 证明：∵∠AOC，∠BOD为对顶角（已知） ∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等） ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD（已知） ∴∠1= ∴∠1=∠2（等量之半相等） ∵∠AOC，∠BOD为对顶角（已知） ∴AB为直线（对顶角定义） ∴∠AOF+∠2=180°（平角定义） ∴∠AOF+∠1=180°（等量代换） ∴∠EOF=180°（等量代换） ∴OE，OF互为反向延长线（平角定义） 九．剖析图形结构，挖掘等量关系 例3、已知如图，OB⊥OA，直线CD过O点，∠AOC=20°，求证∠DOB的度数。 ∠AOC，∠2=∠BOD（角平分线定义） 证明E、O、F三点共线。能看成是一对对顶角，一点恰恰是本题证明的OF平分∠BOD，求证： 5
卓越个性化教学讲义 分析：题设中的条件给出了许多的角的关系，由OB⊥OA可知∠1+∠2=90°；由CD过O点，可知∠2+ ∠BOD=180°，再由∠AOC=20°，很容易求得∠DOB的度数。 解：（不是证明题，不能写“证明”，而写“解”字） ∵OB⊥OA（已知） ∴∠AOB=90°（垂直定义） ∴∠1+∠2=90°（等量代换） ∴∠2=90°-∠1（等式性质） ∵直线CD过O点（已知） ∴∠COD=180°（平角定义） ∴∠BOD+∠2=180°（等量代换） ∴∠BOD=180°-∠2（等式性质） =180°-(90°-∠1)（等量代换） =90°+∠1（等式性质） ∵∠1=20°（已知） ∴∠BOD=90°+20°（等量代换） =110°（等式性质） 答：∠BOD的度数为110°（求解题最后写答） 例4、已知如图，OA⊥OC，OB⊥OD，∠AOD=3∠BOC，求∠BOC 分析：由题设条件（∠AOD=3∠BOC，这是有关∠BOC的关系式，AOB=90°-∠BOC， ∠AOB，∠COD都与∠BOC相关，可运用代数方法，设元，用方程思∠BOC=x，用x表示其余的相关角，分析其等量关系，得到关于x的或思考都比较简捷。 解：设∠BOC=x ∵∠AOD=3∠BOC（已知） ∴∠AOD=3x 又∵∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD（全量等于部分之和） ∴3x=∠AOB+x+∠COD（等量代换） ∴2x=∠AOB+∠COD（等式性质） ∵OA⊥OC，OB⊥OD（已知） ∴∠AOB=90°-x，∠COD=90°-x（垂直定义） 的度数。 由垂直条件可推出）∠∠COD=90°-∠BOC，可见想解题，直接设 方程，这样做，无论从叙述 6
卓越个性化教学讲义 ∴2x=90°-x+90°-x（等量代换） ∴4x=180°（等式性质） ∴x=45°即∠BOC=45° 答：BOC的度数为45°。 十．例题： 例1．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOC=70°，的度数。 精析：∠AOC、∠COE、∠BOE组成一个平角，而∠AOC、知，所以，可以先求出∠COE的度数，再根据对顶角相等得到∠ 解：∵AB是直线（已知）， ∴∠AOC+∠COE+∠BOE=180°（平角的定义）， ∴∠COE=180°-∠AOC-∠BOE ∵∠AOC=70°，∠BOE=80°（已知） ∴∠COE=30°， ∵ CD、EF相交于点O（已知） ∴∠COE与∠DOF是对顶角（对顶角的定义） ∴∠COE=∠DOF（对顶角相等） ∴∠DOF=30°。 例2．如图所示，直线AB与CD相交于O点，OE平O，且∠BOF=24°，求∠COE的度数。 解：∵OF⊥CD，∠BOF=24°， ∴∠AOC=180°-∠COF-∠BOF =66° 又∵OE平分∠AOC =180°-90°-24° 分∠AOC，射线OF⊥CD于点∠BOE的度数为已DOF的度数。 ∠BOE=80°，求∠DOF ∴∠COE=∠AOC =×66° 7
卓越个性化教学讲义 =33° 即∠COE的度数为33°。 以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。 例3．如图所示，AB//EF，求证：∠BCF=∠B+∠F。 精析：过点C作CD//AB，则∠B=∠1，由平行公理 ∴∠2=∠F，∴有∠BCF=∠B+∠F。 证明：过点C作CD//AB， 则∠B=∠1（两条线平行，内错角相等） ∵ AB//EF（已知），CD//AB ∴ CD//EF（平行公理推论） ∴∠F=∠2（两直线平行，内错角相等） ∴∠1+∠2=∠B+∠F 即∠BCF=∠B+∠F。 例4．如图所示，已知AB⊥BC于B，EF分别交AC、BC于E、求证：EF⊥BC。 精析：由∠A与∠AEF互补可推得AB//EF，然后由AB⊥BC可把推论两条直线垂直的问题转化成证明两条直线平行的问题。 证明：∵∠A+∠AEF=180°（已知） ∴ AB//EF（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠B=∠EFC（两直线平行，同位角相等） ∵ AB⊥BC（已知） ∴∠B=90°（垂线定义） ∴∠EFC=90°（等量代换） ∴EF⊥BC（垂线定义）。 推出EF⊥BC。这样就F，∠A+∠AEF=180°，还可推出CD//EF， 三、两组平行线构造平行四边形 2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D， 求证DF∥AC． D 3 2 E 1 4 F A (第22题) B C 8