发布时间 : 星期一 文章自动控制工程基础复习题及答案更新完毕开始阅读fc78522ebd64783e09122be4
取?a??c2，?b?16，而L(16)?L(4)，L(?c2)?0， 则可求得?c2?16?10?39.97/(?20)?1594.48rad/s (b) 根据在ωc处开环频率特性的幅值
Gk(j?)?20?21?(?/4)21?(?/16)21?(?/1.25)2?1
进行求解。求解的方法由准确的和近似估算两种。一般来说：准确的求解只适用与求低阶系统的ωc；对于高阶系统，将涉及高阶代数方程的求根问题较为麻烦，工程上往往采用近似估算的方法。以本题为例，估算的具体做法如下：对于低频段的ωc1，由于ωc1/ωi<<1（其中ωi为与开环有限极点相对应的转折频率，即ω1＝1.25，ω2＝4，ω3＝16），近似取ωc1/ωi≈0，则可得Gk(j?c1)?20?c12?1，从而解的?c1?1/20?0.224(rad/s)；对于高频段的ωc2，由于ωc2/ωi>>1，近似取1??c2/?i?(?c2/?i)2，于是可得
20?c22Gk(j?c2)??1
(?c2/4)(?c2/16)(?c2/1.25)从而解的ωc2=20*4*16*1.25=1600rad/s。由求解过程可见：虽然可以使用这种方法近似估算高阶系统的ωc，但是必须事先知道它的取值区段。这是估算方法的不足之处。
(c)求解开环对数渐进幅频特性方程来确定 由Gk(s)可列写系统的开环对数渐近幅频特性方
?20lgA1(?)?20lg20?2;??1.25?20lgA2(?)?20lg[20?2/(0.8?)];1.25???4?程为L(?)??
2?20lgA3(?)?20lg[20?/(0.8??0.25?)];4???16?20lgA(?)?20lg[20?2/(0.8?0.25?0.0625?3)];??16?4令A1(?)?20?2，可解的?1*?1/20?0.224，它在该段渐近线的频率区间内（即?1*?1.25）故可得?c1?0.224(rad/s)；令A2(ω)=1和A3(ω)=1，求得的解均不在该段的频率范围内，即对应的幅频曲线段与零分贝线不相交；令
A4(?)?20?2/(0.8?0.25?0.0625?3)?1，
可解的?2*?20/(0.8?0.25?0.0625)?1600，它在该段渐近线的频率区间内（即?2*?16）故可得ωc2=1600rad/s
根据所得的ωc值，则可求得系统的相角裕量为
?(?c1)?1800??(?c1)?3600?arctan0.25?c1?arctan0.0625?c1?arctan0.8?c1?346.10
?(?c2)?1800??(?c2)?90.750
由相频特性表达式可见，当?从0变化到?时?(?)??180。故可得系统的增益裕
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量为gm?20lg1/Gk(j?g)??由Gk(s)可知，该系统为最小相位的。而?>0,gm>0,故闭环系统为稳定的。
（2）对于G(s)H(s)系统 首先将开环传递函数改写成下列时间常数的表示形式：
G(s)H(s)?5(1?0.5s)
s(1?0.1s)(1?0.2s)于是可得系统的开环频率特性为
5(1?0.5j?)??(2?0.05?2)?j(5?0.35?2) G(j?)H(j?)??22j?(1?0.1j?)(1?0.2j?)?(1?0.01?)(1?0.04?)相应地可求得开环对数渐近幅频特性方程为
?20lg5/?;??2?20lg5?0.5?/?;2???5? L(?)???20lg5?0.5?/(??0.2?);5???10??20lg5?0.5?/(??0.2??0.1?);??10分析上式可以看到：?c落在??10的频率区间上；令5?0.5?/(??0.2??0.1?)＝1，可解得ωc＝11.18（rad/s）。于是可求得方程的相角裕量为
??1800??(?c)?1800?arctan0.5?c?900?arctan0.1?c?arctan0.2?c?27.850
由G(j?)H(j?)的表达式可见：G(j0?)H(j0?)????900；G(j?)H(j?)?0??1800当?为正的时Re[G(j?)H(j?)]<0，lm[G(j?)H(j?)]<0,这说明开环幅相曲线位于第三象限内且与负实轴无非零的交点。故系统的增益裕量gm?20lg/G(j?g)H(j?g)??。
虽然??0和gm>0（即开环负相曲线不包围临界点），但由于系统在右半S平面上有一个开环极点，故根据奈氏判据确定该闭环系统为不稳定的。
Ks5-10b 设反馈控制系统的开环传递函数为Gk(s)?，试求：（1）当开环
s(s?1)(s?5)(s?10)增益等于1时系统的增益裕量和相角裕量；（2）使系统稳定时开环增益的临界值。
说明 在开环增益的临界值下，闭环系统将处于临界稳定状态。其特点时：系统的开环频率特性曲线将通过临界点（-1，j0），或系统的稳定裕量??0和gm?0。因此求临界开环增益的常用方法有下列两种：（1）解析的方法，（在极坐标图上）令开环频率特性曲线
0令Gk(jω)的相角?(?)??180（或Gk(j?)通过临界点（－1，j0）来求解。其具体做法是：
虚部Im[Gk(jω)]=0）求得相穿频率ωg；将所得ωg值代入Gk(jω)中便可求得开环频率特性
曲线与负实轴交点的横坐标Gk(jωg)；然后令Gk(jωg)＝－1则可求得系统的临界开环增益值。（2）在开环伯德图上垂直移动开环对数幅频曲线，使之ω=ωg时穿过0dB线来求解。在伯德图上开环频率特性乘以K倍，并不改变开环对数频率特性曲线的形状而只是使开环对数
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幅频曲线垂直上移20lgK(dB)的距离。 设原系统的开环增益为K0，如果将开环对 数幅频曲线垂直上移使得ω=ωg时穿过0dB 线（即移动后系统ωg=ωc，γ=0和gm=0， 因而系统处于临界稳定状态），那么由垂直 上移的距离（设为20lgK1）便可求得开环增 益的临界值为Kcr=K0K1。
解 （1） 当K＝1时系统的稳定裕量 将Gk(s)改写成时间常数的表示形式并求得系 统的开环频率特性为
Gk(j?)?K|s?j?s(s?1)(0.2s?1)(0.1s?1)K 5-2
?ej?(?)?1??21?0.04?21?0.01?2K[?(0.02?2?1.3)?j(0.32?2?1)]??(1??2)(1?0.04?2)(1?0.01?2)图5-12 式中：系统的开环相频特性为?(?)??900?arctan??arctan0.2??arctan0.1?；系统的开环增益为K=0.02Kg，其中Kg为系统的开环根轨迹增益。于是可绘制K＝1时系统的开环对数频率特性曲线，如图A5-12的实线所示。
由开环对数频率特性求系统的增益裕量，其核心在于计算相穿频率ωg。确定ωg的常用方法有下列三种：
(a) 直接在开环伯德图上读取。由图A5-12可读得：ωc＝1rad/s，ωg=1.77rad/s。
(b) 令在ωg处开环频率特性的虚部Im[Gk(jω)]=0，即0.32ω2-1＝0，则可求得相穿频率为
?g?1/0.32?1.77rad/s
(c)令在ωg处开环频率特性的相角φ(ω)=-1800，即
?(?)??900?arctan??arctan0.2??arctan0.1?＝?1800
或 arctan??arctan0.2??arctan0.1??90 对上式的两边取正切并应用三角函数公式
tan(?????)?于是有
tan??tan??tan??tan?tan?tan?，
1?tan?tan??tan?tan??tan?tan???0.2??0.1??0.02?3?? 2221?0.2??0.02??0.1?这意味着1?0.2?2?0.02?2?0.1?2?1?0.32?2?0，故可求得相穿频率为
?g?1/0.32?1.77rad/s
将ωg值代入Gk(jω)中，便可求得系统的增益裕量为
gm??20lgGk(j?)?20lg?g?20lg1??g2?20lg1?0.04?g2?20lg1?0.01?g2?11.76dB 15
或 Gk(j?g)?10?gm20?0.26
由图A5-12可得ωc＝1rad/s，于是可求得系统的相角裕量为
??1800??(?c)?1800?900?arctan1?arctan0.2?arctan0.1?27.980
该系统为最小相位的，而??0和 gm?0，故闭环系统是稳定的。 (2) 系统开环增益的临界值 求解的方法有些列两种：
(a) 令开环频率特性通过临界点来求解。由式5-2可得当?(?g)??1800时，Gk(j?)曲线与负实轴交点的横坐标为
K?(0.02?2?1.3)Gk(j?g)?|??0.26K
?(1??2)(1?0.04?2)(1?0.01?2)??1.77令Gk(j?g)??0.26K??1，则可求得系统的临界开环增益为Kcr?1/0.26?3.85 相应的临界开环根轨迹增益为Kgcr?Kcr/0.02?192.5。
(b) 直接在开环伯德图上求解。将开环对数渐近幅频曲线垂直上移11.76dB（如图5-12的虚线所示），使得上移后系统ωc=ωg，γ=0，gm=0。从而系统处于临界稳定的状态。而原系统的开环增益等于1，故可求得系统的临界开环增益Kcr为
20lgKcr=11.76dB 即 Kcr=1011.76/20=3.87
所得结果与解法(a)的结果是一致的。
5-11c 图5-13所示的某宇宙飞船控制 系统的简化结构图。为使该系统具有相 角裕量??50，系统的开环增益应调 整为何值，并求这时的增益裕量。
解 由结构图可得，系统的开环频率特性为
0图5-13 (s?2)s/2?1K1?0.25?2j?(?) G(j?)?Kc|s?j??K|s?j??es2s2?2式中：K?2Kc为系统的开环增益；?(?)??180?arctan?/2为系统的开环相频特性。
为使??50，这意味着
00?(?c)??1800?arctan?c/2????1800??1300即arctan?c/2?500
于是可求得
?c?2tan500?2.38rad/s
当???c时G(?c)的幅值等于1，即
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