发布时间 : 星期四 文章传球数论问题更新完毕开始阅读fcd28d4ce518964bcf847c37
②当n为偶数时，甲最多触球n?2次，这时总数为Nn2?(m?1).
n2 于是，传球的总方法种数为an?N2???Nn?(m?1)(m?2)n?2
12n?423n?634n?8 ?Cn?Cn?Cn?3(m?1)(m?2)?4(m?1)(m?2)?5(m?1)(m?2)n?1?n?12??2(m?1)(m?2),n为奇数， ????n?2??(m?1),n为偶数这个和式的通项公式为
kk?1Nk?Cn(m?2)n?2(k?1),k?0,1,2,?,?(k?2)(m?1)n?3n?2(n奇)或（n偶）. 22(m?1)n?(?1)n?(m?1)可以证明，an?,n?N?（略）
m评注：生14的解法确实不够简捷，但却提供了另一类解决此问题的思路，构建的数列{Nk}也有一定的实用价值。
生15 采用逆推法并通过建立递推关系式来求解：
为方便于进行直观地量化表述，将问题符号化：用A1表示甲，A2,A3,?,Am表示另m-1人，传球过程可图示如下：
?A1??A2??A??A?2?第二次传球???A1?第一次传球?????3?????????????????AA?m??m??A2??A?第n?1次传球n次传球???3??第 ????????A1
??????Am??A1??A1??A??A?2第n?2次传球?????????2?
??????????A?Am??m? 设第i(1?i?n)次传球时，球从A1,A2,?,Am手中传出后，再经过n?i次传球又回到A1手中的不同传球方式种数依次为a1,i,a2,i,a3,i,?,am,i。
由于第n次传球后球要回到A1手中，所以第n次传球时球只能从A2,A3,?,Am手中传出直接回到A1手中，此时由上图可知：
a2,n?a3,n??am,n?1，a1,n?m?1,a2,n?1?a3,n?1??,am,n?1?m?2.
（1）若n=2，由上图知传球次数N=m-1；（2）若n=3，由上图知传球次数N=（m-1）（m-2）；(3)若n?4，由于在第i(3?i?n?1)次传球时球可以从A1,A2,?,Am中任一人手中传出，且a2,i?a3,i??am,i，所以当3?i?n?1时由上图可知
(1)?a1,i?(m?1)a2,i?1 ?
(2)?a2,i?a1,i?1?(m?2)a2,i?1 由（1）得a1,i?1?(m?1)a2,i?2（3），把（3）代入（2）得a2,i?(m?1)a2,i?2?(m?2)a2,i?1（4），所以a2,i?a2,i?1?(m?1)(a2,i?1?a2,i?2)?进而可得a2,i?a2,i?1?(a2,n?2?a2,n?1)(m?1)
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n?i?2a2,i?a2,i?1a2,i?1?a2,i?2?m?1，
?(m?1)n?i.
于是a2,i?(m?1)n?i?a2,i?1(3?i?n?1)（5） 又a2,n?1?m?2，由（5）式递推得
a2,n?2?(m?1)2?(m?2)，a2,n?3?(m?1)3?(m?1)2?(m?2)， a2,n?4?(m?1)4?(m?1)3?(m?1)2?(m?2),??,
a2,3?a2,n?(n?3)?(m?1)k?3?(m?1)k?4?(m?1)k?5???(?1)k?4(m?2)
?(m?1)k?3?(m?1)k?4?(m?1)k?5???(?1)k?4(m?1)?(?1)n?3
1?[?(m?1)n?3](m?1)n?2?(?1)n?1n?4n?3(6) ?(?1)(m?1)?(?1)?1?[?(m?1)]m 又由上图知，由A1第一次传球经过k次传球后球又回到A1手中的不同传球方法种数N等于球从A2,A3,?,Am之一手中第二次传出后，再经过n?2次传球，球又回到A1手中
的不同传球方法种数的和，即N?a2,2?a3,2???am,2，而a2,2?a3,2???am,2，于是得 N?(m?1)a2,2?(m?1)[a1,3?(m?2)a2,3]?(m?1)[(m?1)a2,4?(m?2)a2,3] ?(m?1)[(m?1)(a2,3?a2,4)?a2,3]?(m?1)[(m?1)(m?1)n?3(m?1)n?2?(?1)n?3 ?m(m?1)n?(?1)n?2(m?1) ?.
m(m?1)n?(?1)n?2(m?1) 上式对n?2,3也成立，因此所求总传球数为N?.
m 评注：生15采用逆推法并通过引入二元符号建立递推关系式进行严密地推导，思路新颖别致，充分体现了其深厚的数学素养。
生16 借鉴生3、生8的方法建立涂色模型如图4：m个人????m种不同颜色，传n次球???在n个彼此相连的区域1，2，3，??，n内涂色，且任何相邻的2个区域涂不同色。则可将推广3改述为
?,n,涂色，要求任意2个推广3? 用m(m?2)种不同的颜色，给图4中n个区域1,2相邻区域涂不同颜色，且规定区域1只涂一种指定颜色（如红色），则不同的涂色方法有多少种？
简析 可以推测man?(m?1)n?(?1)n(m?1).
事实上，假设区域1不固定只涂一种颜色，可任意选涂，记符合要求的涂色方法为An(?man)种，则区域1有m种涂法，其它区域均各有m?1种涂法。分成两类：①是区域n与区域1涂同色，相当于将这2个区域合并成1个区域共n?1个区域，这样符合要求的涂色种数为An?1；②是区域n与区域1涂不同色，则有An种，故有
对应于对应于Ak?Ak?1?m(m?1)k?1,k?2,3,?,n.
于是(?1)kAk?(?1)k?1Ak?1??m(1?m)k?1,令k?3,?,n，求和得
(?1)An?A2??[(?1)Ak?(?1)nkk?3nk?12 Ak?1]??m?(1?m)k?1?(1?m)n?(1?m)，
k?3n 由A2?m(m?1)得An?(m?1)?(?1)(m?1).
nnAnAn(m?1)n?(?1)n(m?1)?. 即an?mm注： 2001年全国高中数学联赛题：如图5，在
正六边形的6个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同 一种植物，相邻的2个区域种不同植物。现有4种不同 植物可供选择，则有__种栽法。
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FEDB1?n?1C2???图 5图 65是推广3?的特例：A6?(4?1)?(?1)(4?1)?732. 进一步，受推广3?启发，有
推广4 用m(m?2)种不同的颜色，给图6中n?1个
6662143图 7区域?,1,2,?,n涂色，要求任意2个相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
简析 设符合要求的涂色种数为an，则区域?有m种涂法，其它n个区域均与区域
?不同色，只有m?1种颜色供选涂，由推广3?知有(m?2)n?(?1)n(m?2)种，故有
Bn?m[(m?2)n?(?1)n(m?2)].
注：2003年新课程卷高考题（理科）：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图7），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有___种。
此题是推广4的特例：B5?4[(4?2)5?(?1)5(4?2)]?120. 生17 联想我曾经遇到过的一个问题：
正四面体的四个顶点记为1，2，3，4，从一点出发，等可能到其他3点，求从点1出发走7步又回到1的概率。
正好与传球问题等价：可以将其推广到一般情况：对于任意一个由m个点组成的网络，如果对于这m个点中的任意一个点都与另外的m-1个点相连，那么从其中任意一个点A出发，每次都等可能地选择一条道路到达另外一点，则经过n步后又回到点A的概率Pn是多少？
我们能够得到如下概率递推式：Pk?由递推数列的有关知识可得
111 Pk???(Pk?1?),
mm?1m1(1?Pk?1),k?2，且P0?1 m?111k11(m?1)k?(?1)k(m?1)所以Pk?(P0?)(?)???. kmm?1m(m?1)m于是从点A出发经n步后又回到点A的方法种数为 (m?1)n?(?1)n(m?1)f(m,n)?.
m 评注：生17的做法值得借鉴的地方主要有两点:一是又联想了一个等价的网络模型,进一步扩大了传球问题的应用范围;二是对本问题的解决方法特别:考虑运用递归思想方法建立概率型递推数列，简捷明快! 1122334455666
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