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天津中公教育
均值不等式解决行测极值问题
在行测考试中，数量关系作为一种必考题型。而大家在做这部分题目时，由于题目难度相对较大，很多同学往往耗费很长时间，而正确率却得不到保证，进而会影响到整套行测试卷的完成。如何能用较短的时间做对这部分的题目一直都是各位考生的痛点。其实究其原因，主要是因为对于数量关系题目的考点掌握不太好。今天中公教育就和大家来学习一下数量关系中的极值问题当中的一个考点：均值不等式。
所谓的均值不等式，大家可以直接掌握一句话：和定，差小，积大;积定，差小，和小。指的是当两个数和一定时，这两个数差越小，乘积就越大;而当两个数乘积一定时，这两个数差越小，和就越小。那均值不等式具体在做题中如何运用呢?
我们先来看下面的例题：
例1.直角三角形两直角边和为12，则该直角三角形面积最大为? A.10 B.18 C.20 D.36
【答案】B。中公解析：题目所求为三角形面积最大，而我们知道对于直角三角形而言，面积应该等于直角边乘积的一半，所以要求直角边乘积最大。设两直角边为a和b，题目中说两直角边和为12，即a+b=12，和一定。现求ab的最大值，即乘积最大值，此时想到和定差小，积大。所以当a与b差最小时，乘积最大。而a与b差要想最小，则a=b，此时两直角边均为6。则三角形面积为6×6÷2=18。
接下来再来看下面的例题：
例2.某市有一长方形广场，面积为2500平方米，则该广场周长至少为()米? A.160 B.200
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C.250 D.320
【答案】B。中公解析：题目所求为周长至少为多少，即周长最小值，而长方形周长为长加宽的2倍，设长和宽分别为a和b，则周长为2(a+b)。要想周长最少，则a+b要最小，即求的是和的最小值，而题目中说面积为2500，即ab=2500，乘积一定。所以根据均值不等式积定，差小，和小。可知当差最小时，即a=b=50时，a+b的和为最小，此时周长为2(a+b)=2(50+50)=200。
上面两道题目都是直接利用均值不等式进行求解，而在我们实际做题中，经常还会遇到一些题目利用均值不等式时要先做一些转换。比如我们看下面的例题。
例2.某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，则可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖1万株，问在最佳定价下，该公司最大收入为()万元
A.60 B.80 C.90 D.100
【答案】C。中公解析：要求公司最大收入，而我们知道总收入=每株收入×数量，设单价提高x个0.4元，此时少卖x个1万株，则总收入=(4+0.4x)(20-x)，所以求的是乘积的最大值，此时想到均值不等式，和定差小，积大。但题目中两个式子此时和不是定值，首先构造和一定，则需要消掉未知数x,所以给第二个式子乘以0.4，可得总收入为
，求分子最大值，二分子两个式子和为12，和一定，则差越小，乘积
越大。所以差最小时即两个式子相等，即4+0.4x=8-0.4x，解得x=5，此时总收入为6×15=90万元。
中公教育希望通过上面的三道题目大家能够对均值不等式解决极值问题的题目有更多了解。