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第一章 质点运动学
1-1 已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为
x?2?6t2?2t3
单位为国际单位，求（1）质点在运动开始后4.0s内位移的大小。（2）质点在该时刻内所通过的路程。
解：（1）由x?2?6t?2t得
23x4t?4s?2?6?42?2?43??30,x0t?0s?2
故质点在前4s内的位移为?x?x4?x0??30?2??32m （2）求路程要注意在题设时间内运动方向发生变化，由
dx?0，得 dt12t?6t2?0
解得t1?2s,t2?0（不合题意，舍去） 0~2秒内的位移：?x1?x2?x0?8m 2~4秒内的位移：?x2?x4?x2??40m 所以在4秒内的路程为：S??x1??x2?48m
分析：此题在求解过程中，一定要注意到在4秒内运动方向发生了变化，也就是必须搞清楚位移和路程的区别。
1-2 一质点沿x轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图1-1所示。设t?0时，x?0。试根据已知的v?t图，画出a?t及v?t图。
V（m/s） 20 B C 10 0 -10 D 1 2 3 4 5 6 t（s） -20 A 图1-1
解：A→B段：aAB?KAB?
vB?va?20m/s2 (1)
tB?tA1
xAB?x0?v0t?12at??20t?10t2 (2) 2B→C段：aBC?KBC?0 (3)
xBC?xB?v0t?12at?(?20)?2?10?4?20(t?2)?20(t?2) (4) 2其中，xB为t=2秒时x的坐标。 C→D段：aCD?KCD?vD?vC??10m?s?2 (5)
tD?tCxCD?xC?v0t?121at?40?20(t?4)??(?10)?(t?4)2??5t2?60t?120 (6)22根据（1）、（3）、（5）可作图1-2（a），根据（2）、（4）、（6）可作图1-2（b）如下。
a（m/s2） 20 B 40 10 0 -10 -10 -20 A 图1-2 (a) -20 A 图1-2 （b） D 1 2 3 4 5 6 t（s） 20 0 1 2 3 4 5 D 6 t（s） x（m） 图1-2
1-3 如图1-3所示，湖中有一小船，岸上有人用绳子跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h，滑轮到原船位置的绳长为l0。试求：当人以匀速v拉绳时，船运动的速度v'为多少？
解：船与岸边水平距离x的表达式为
x2?(l?vt)2?h2
对上式进行求导
2xdx??2v(l0?vt)dtdx??dtv(l0?vt)v'??(l0?vt)?h2122??h2???v?1?()?l0?vt??1 2负号表示v’与x方向相反。
4-1 一升降机以加速度1.22ms-2上升,当上升速度为2.44m/s时,有一螺丝自升降机的天花板上掉下,天花板与升降机的地面相距2.74m。计算：（1）螺丝从天花板到地面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离。
2
解：以升降机为参照系，竖直向下为y轴的正向，对于螺丝的初始条件为：t=0时，v0=0，而螺丝相对的加速度为a?a升?g，由匀加速直线运动得：
1h?0?(a升?g)t22即t?
2h?0.75 g?a(2)在t?0.75s时，升降机上升地高度为
h?h?y?0.716
1-5 一质点P沿半径R=3.00m的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为20.0s,设t=0时，质点位于o点。按照图1-5所示Oxy坐标系，求（1）质点P在任意时刻的位矢；（2）5s时的速度和加速度。
解：（1）由初始条件t=0时??0，设经过t时刻后到达P点,则
???t?2??0.1?t T所以x?Rsin??3sin(0.1?t)
y?R(1?cos?)?3(1?cos(0.1?t))
所以质量P的位矢为 r?xi?yj
r(t)?3?sin?(0.1?)t?i?3[1?cos(0.1?)t]j
（2）5 s时的速度和加速度分别为：
ν?dr1πcos(0.1πt)i?3?0.1πsin(0.1?t)j]t?5t?5[3?0. dt?0.3?m.s?1jd2ra?2t?5??3(0.1?)2sin(0.1?t)i?3?(0.1?)2cos(0.1?t)j dt??0.03?2m.s?2i1-6 一质点从原点开始，沿抛物线2y?x运动，它在Ox轴上的分速度为一恒量，其值为vx?4.0m/s。求质点位于x=2.0m处的速度和加速度。
解：位置矢量r?xi?yj?xi?212xj (1) 2V?drdxd1?i?(x2)j?Vxi?xVxj?4i?4xj (2) dtdtdt2 3
a?dv?4Vxj (3) dt当质点位于x=2m时，由上式（2），（3）可得：
v?4i?8j a?16j
所以，质点位于x=2.0m处的速度和加速度分别为
v?4m/si?8m/sj a?16m/s2j
1-7 质点在Oxy平面内运动，其运动学方程为r?2.0ti?[19.0?(2.00)t2]j。求（1）质点的轨迹方程；（2）在t1?1.00s到t2?2.00s时间内的平均速度；（3）t1?1.00s是的速度和加速度。
解：（1）由r?2.0ti?[19.0?(2.00)t2]j得分量式为
x?2t;y?19?2t2，消去t得轨迹方程为
y?19?0.5x2
（2）由rt?1.00s?(2.00)i(17.00)j
rt?2.00s?(4.00)i?(11.00)j v??rr2?r1??(2.00)i?(6.00)j ?tt2?t1dxdyi?j?(2.00)i?(4.00)tj dtdt（3）t时刻的速度和加速度表达式
v(t)?vxi?vyj?a(t)d2xd2y?2i?2j?4.00j dtdtt?1.00s时的速度
v(t)t?1s?2.00i?4.00j
t?1.00s时的切向加速度
att?1s?dvd22et?(vx?vy)et?3.58et dtdtt?1.00s时的法向加速度
ant?1s?a2?at2en?1.79en
1-8 质点的运动方程为
（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的x??10t?30t2 , y?15t?20t2。试求：
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