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奇异值分解法在秩亏自由网平差中的应用
湖北水利水电职业技术学院副教授 李行洋
摘 要：在经典平差中，按间接平差法列出的误差方程系数阵为列满秩，所得到的法方程系数阵为一个对称的满秩矩阵，法方程组具有唯一解。而当控制网中没有必要的起算数据时，则按间接平差法所列出的误差方程系数阵是非列满秩的，其对应的法方程系数阵也是一个秩亏的奇异阵，试图探讨秩亏自由网的法方程系数阵的一种解算方法。
关键词：秩亏自由网 极小范数解 特征值 正交向量
Application of Singular Value Decomposition to Rank Defect
Free Network Adjustment
Li Xingyang
Hubei Water Resources Technical College 430072 Abstract: In classical adjustment, the normal equations have a unique solution if the error equation coefficient matrix achieved by indirect adjustment is full column rank, and the normal equation coefficient matrix achieved by the same method is a symmetrical full rank matrix. The error
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equation coefficient matrix by indirect adjustment is non-full column rank when there is no necessary initial data in control network, but the corresponding normal equation is also a rank deficient singular matrix. The paper is written to discuss solutions to normal equation coefficient matrix in rank defect free network. Keywords: rank defect free network; small scope values; eigenvalue; orthogonal vectors
0 引言
秩亏自由网的特点是法方程的系数阵非满秩。目前，解算秩亏自由网的方法很多[1][2]，但大多数方法的主要思路是将秩亏矩阵转化为满秩矩阵求逆，计算工作十分困难。本文采用奇异值分解法对秩亏矩阵求逆，由于法方程系数阵为实对称阵，故计算较为方便，同时，奇异值分解法能给出逆矩阵的较精确结果[3]。
1 方法与公式 设观测误差方程
??lV?B?X0n?1n?tt?1 权为
n?1n?nP
（1） 则法方程为
??W?0 ?X Nt?tt?1t?1
2
（2）
式中：N?BTPB为实对称阵，W?BTPl0。
当N的秩为t0﹤t时，即NN?0，
为秩亏阵，且秩亏为d?t?t0。
?的解不唯一。为了求得?X?的唯一的最佳估值，显然，（2）式?X可要求：
?T?X??min?X
（3）
按求条件极值法解得
???N?W?Xm
（4）
??的唯一的最小二乘极小范数解。这里Nm不唯一，但能求出?X不妨取
?Nm?N(NN)?
（5）
?满足 Nm?NNmN?N
（6）
?NN??mT??NmN
（7）
将NN进行奇异分解，则存在正交矩阵U使下式成立。即
NN?URUTt?tt?tt?tt?tt?t
（8）
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其中，R为对角矩阵，且它的主对角元素（奇异值）恰有t0个非零正值及d个零值[3][4]。这t个元素就是对称矩阵NN的特征值，按递减次序排列。U的列向量即为NN的特征值所相对应的单位正交向量。则
?NN???UR?UT（9）
可以证明，NN的特征值即为N的特征值的平方。而NN对应于特征值的单位正交向量即为N相对应于特征值的单位正交向量。
2 精度评定
?0为 观测值中误差?VTPV?0???n?t0
（10）
?（或X??X）的协因数阵QX?X?为
?T?TQX?X???NmBPQll?NmBP?T??NmBPBNm??Nm?Tm??T??N?N?T
（11）
显然，QX?X?为对称阵。 因为
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