发布时间 : 星期一 文章2018届高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及其应用试题理人教版含答案更新完毕开始阅读fe824381846a561252d380eb6294dd88d1d23d5f
2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的
数量积及其应用试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( ) A.0
B.1
2
2
C.2
2
D.5
解析 |a－b|＝（a－b）＝a－2a·b＋b＝1＋4＝5. 答案 D
2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b|
2
2
2
B.|a－b|≤||a|－|b||
2
C.(a＋b)＝|a＋b| D.(a＋b)·(a－b)＝a－b
解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B. 答案 B
3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝( ) A.25
B.5
C.10
D.5
1－222解析 ∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝（－1）＋2＝5.故选
x2B. 答案 B
→
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－→→→
2)，AD＝(2，1)，则AD·AC等于( ) A.5
B.4
C.3
D.2
→→→
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－→→
1).∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5，选A. 答案 A
5.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( ) πA. 3
π B. 2
2π C.
3
5π D.
6
2
解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|，设a与b的夹角为θ，
a·b－2|a|212π
则cos θ＝＝，故选C. 2＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝
|a||b|4|a|23
答案 C 二、填空题
6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________. 2
解析 由题意，得a·b＝0?x＋2(x＋1)＝0?x＝－. 32
答案 －
3
7.(2016·北京卷)设a，b是向量.则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条件. 解析 |a＋b|＝|a－b|?(a＋b)＝(a－b)?a·b＝0，
2
2
∴|a＋b|＝|a－b|?/ |a|＝|b|；|a|＝|b|?/ a·b＝0，得不到|a＋b|＝|a－b|， 因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件. 答案 既不充分也不必要
→→→
8.已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________.
→→→
解析 由已知得AB＝OB－OA＝(3，1)， →→→
AC＝OC－OA＝(2－m，1－m). →→若AB∥AC，
1
则有3(1－m)＝2－m，解得m＝. 2
→→
由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m). ∵∠ABC为锐角，
3→→
∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，可得m>－. 4
1→→→→
由题意知，当m＝时，AB∥AC，且AB与AC同向.
2
311
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是?－，?∪?，＋∞?.
?42??2?311
答案 ?－，?∪?，＋∞?
?42??2?三、解答题
9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
→→
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|－4a·b－3|b|＝61.
2
2
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
a·b－61
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－. |a||b|4×32
又0≤θ≤π，∴θ＝
2
2
2π. 3
2
2
(2)|a＋b|＝(a＋b)＝|a|＋2a·b＋|b| ＝4＋2×(－6)＋3＝13，∴|a＋b|＝13.
2π2ππ→→
(3)∵AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝. 333→→
又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，
1→→13
∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝33.
222
10.(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，3
sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. 5(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影. 3
解 (1)由m·n＝－，
5
3
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
53
所以cos A＝－.因为0 5所以sin A＝1－cosA＝(2)由正弦定理，得 2 2 2 341－?－?＝. ?5?5， sin B2 asin A5× ＝b45bsin A2 则sin B＝＝＝， a242 因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝3222 由余弦定理得(42)＝5＋c－2×5c×?－?， ?5?解得c＝1，c＝－7舍去， 22→→→ 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝. 22 能力提升题组 (建议用时：20分钟) π. 4 11.(必修4P120 1(6)改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于( ) A.2 B.5 C.2或5 D.2或5 2π 或0°，|a3 解析 由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于＋b＋c|＝（a＋b＋c） ＝a＋b＋c＋2a·b＋2b·c ＋2a·c 当夹角为0时，上式值为5；当夹角为答案 C 2π 时，上式值为2.故选C. 3 2 2 2 2 →→ 12.(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于( ) 32 A.－a 2 32 B.－a 4 32 C.a 4 32D.a 2 →→→→→→→→→→→→→→ 解析 在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD123222 ＝a＋a×a×cos 60°＝a＋a＝a. 22答案 D →→→→ 13.(2017·洛阳统考)已知A(－1，cos θ)，B(sin θ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________. →→ 解析 法一 利用几何意义求解：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB→→→→ 的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.π→→ 因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝. 4 →→→→ 法二 坐标法：OA＋OB＝(sin θ－1，cos θ＋1)，OA－OB＝(－sin θ－1，cos θ－1)，→→→→2222 由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sin θ－1)＋(cos θ＋1)＝(－sin θ－1)＋(cos θ－1)，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝答案 π 4 π. 4 14.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成→→→ 的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R). 2→ (1)若m＝n＝，求|OP|； 3 (2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.