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高考中圆锥曲线最值问题求解方法
圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。主要类型：（1）两条线段最值问题。（2）圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值。（3）圆锥曲线上点到x轴（y轴）上某定点的距离的最值。（4）求几何图形面积的最值等。 一、定义法
根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。
例1、已知抛物线 y?4x，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。
分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。 解： 如图，?y?4x,?p?2, 焦点F(1,0) 。 由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. (|AP|?|PF|)min?4.
22 由y?1{y2?4xy , 得 P(,1)为所求点.
14 p? Q P Q? A(3,1)
O F(1,0) x
若另取一点P? ， 显然 |AP?|?|P?F|?|AP?|?|P?Q?|?|AP|?|PQ| 。
[点悟] 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁
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就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 |AP|?最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。
|PF|的exy例2、已知点F是双曲线 ? 的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，? 1412则 PF ? PA 的最小值为___________.
22解：
PF1?PA?PF1?PF2?PA?PF2?2a?PA?PF2?4?AF2?9x2y2例3、已知椭圆??1的右焦点F，且有定点A(1,1)，又点M是椭圆上一动点。问
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|MA|?|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标
例4、已知P点为抛物线y2?4x上的点，那么P点到点Q(2,?1)的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为 _ __，此时P点坐标为 _. 二、参数法
利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
x2y2例1、椭圆2?2?1的切线 与两坐标轴分别交于A,B两点 ， 求三角形OAB的最小面
ab积 。
分析；写出椭圆参数方程{y?bsin?，设切点为P(acos?,asin?)，可得切线方程。 解： 设切点为P(acos?,asin?) ， 则切线方程为 令y=0, 得切线与x轴交点A(?S?AOB?x?acos?cos?sin?x?y?1. abab,0)；令x?0，得切线与y轴交点B(0,) cos?sin?1abab|OA|?|OB|=||?||?ab. ?Smin?ab. 22sin?cos?sin2?
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[点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。 三 、二次函数法
函数法就是把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.（关键：建立函数关系式，注意变量的定义域）。
例1、过动直线x?2y?p与定直线2x?y?a的交点（其中p?(0,3a]）的等轴双曲线系
x2?y2??中 ， 当p为何值时，?达到最大值与最小值？
分析：求出交点坐标代入双曲线,可得?的二次函数表达式，再利用函数方法求解。
解：由
{2x?y?ax?2y?p, 得 交点Q(p?2a2p?a,),将交点Q坐标代入双曲线, 55???x2?y2= (p?2a22p?a21)?()=(?3p2?8ap?3a2) 552514a225a2[?3(p?)?].P?(0,3a]. =2533当 p?4a124a4a5a4a5a, ?max?a,又 0?p?3a,??； ?p??,?|p?|?3333333当p=3a时,?min?0.
[点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。
x2y2例2、点A,B分别是椭圆??1的长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴
3620的上方，且PA?PF若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M的距离的最小值.
分析：把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数，然后求这个函数的最小值。 解：由已知可得点A(?6,0)、F(4,0),设点P(x,y)，则 ??????AP?(x?6,y),FP?(x?4,y) 2?(x?6)(x?4)?y?0?(1)?x2,AF?FP
36?y220?1?(2)3
3?x??2?由（1）（2）及y?0得?
?y?53??2 ∴AP的方程为x?3y?6?0 设M(m,0)，则点M到直线AP的距离d?m?62,MB?6?m
?m?62?6?m?m?2
设椭圆上点(x0,y0)到M距离为d则
d2?(x0?2)2?y05?x02?4x0?4?20?x029 492?(x0?)?15??6?x0?6929?当x0?时，dmax?152四 、几何法
将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离（切线法：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。）等求解。
x2y2??1 和直线 l:x?y?9?0，在l上取一点M ，经过点M且以椭例1、 已知椭圆
123圆的焦点F1,F2为焦点作椭圆 ，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。
分析；设F1?是F1关于l对称点，可求出F1?坐标，过F1?F2的直线方程与 x?y?9?0联立得交点M为所求。
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