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高师院校开设《动态几何》课程的实践与思考
张景中
1，2，3
，彭翕成，陈矛
11
（1.华中师范大学 教育部教育信息技术工程研究中心，武汉 430079；2.广州大学 计算机与教育软件学院，广州 510006；3. 中国科学院 成都计算机应用研究所，成都 610041；）
摘要：针对教育现代化的需求，结合中学数学教学的实际需要，华中师范大学开设了《动态几何》课程。本文介绍了开设《动态几何》课程的教学实践，用实例说明哪些教学内容能够引起学生的兴趣；哪些教学内容学生认为特别有用；通过学习此课程学生的主要收获；以及值得反思的一些问题。最后摘录了学生对这门课的的评价和反馈，提出了对这门课程今后发展方向的设想和展望。 关键词：动态几何；超级画板；教师教育；数学教学
1. 引言
动态几何是近20多年来出现并迅速发展的一种数学图形软件技术。它在教育中的积极作用已经成为大家的共识。近10年来，中国发展了适用于本国数学教育需求的动态几何软件超级画板(SSP, 即 Super-Smart-Platform)。
文[1]介绍了超级画板免费版的基本功能，以及在教学中的若干应用。文[2]探讨了高师院校开设动态几何课程对中学数学教与学中的价值。在这些工作的推动下，华中师范大学等师范院校从2007年开始开设《动态几何》课程。
此课程每周上课一次，每次100分钟(含10分钟休息)。一位教师同时给60-80名学生上课。教室里为每个学生准备了装有SSP软件的电脑。教师讲解和学生自己操作交替进行，大约各占一半的时间。
本文的部分作者在[3]中曾介绍了一些高师院校以超级画板为主要软件开设动态几何课程的初步实践和思考，同时对该课程对数学教师教育方面所起作用作了调查。本文将在前面工作的基础上，报告华中师范大学开设动态几何课程的实践情形，继续探讨高师院校开设动态几何的意义和方式。 2. 开课的必要性
近几年，大学生就业形势日益严峻。对于高师院校而言，一方面高校扩招导致师范毕业生增多，另一方面中学教师岗位日益饱和；而经济的不景气使得一些非师范毕业生和师范毕业生抢饭碗，高等师范院校就业竞争越来越激烈。
有人认为：中学招聘教师应该首先考虑师范毕业生，毕竟他们在大学曾经受过专业的师范教育。这话听来不错，但也值得商榷。我们认为：不是说进了师范院校的门，就是师范生了；得具备师范生的基本技能，才能称得上是师范生。
据笔者了解，很多高师院校，不考虑自身的实际情况，盲目向综合性大学靠拢，所开设课程不太合理。一方面开设了《教育学》、《心理学》等基本原理课程，但大部分学生评价这些课程为“教条式理论”，对这些课程兴趣极低，通常就是考前背诵了事。另一方面大三大四开设的专业课难度较大，譬如《实变函数》、《泛函分析》、《拓扑学》、《偏微分方程》等。所谓不居高不能临下，不深入不能浅出，学习这些现代数学对提高数学修养是有帮助，但就业的压力使得很多大三、大四的学生忙于其他事情，譬如说考公务员，考研，以及为了进中学，忙着作高考题、奥数题等。文[3]的调查结果表明，师范生更希望学校开设类似于动态几何这样的课程，因为这些课程学习的内容能够更直接地用于今后的中学教学。
随着计算机的迅速普及和信息技术高速发展，中学教学对具有过硬教育技术水平的年轻老师越来越需要。因为尽管学校原有教师也通过在职培训或自学，学习了一些多媒体技术；但由于工作忙，学习时间得不到保障等原因，技术水平还存在一定问题。所以在高校对师范生开设动态几何课程是工作岗位提出的需求，是十分必须的。同时，有一个问题需要注意，在职老师是“教然后知不足”，渴望多学一点；而职前老师，也就是在校师范生这方面的感受还不强烈。所以总是出现“大学不努力学习，工作了后悔”的境况。
为了解决这一问题，考虑到师范生的双重身份：大学生和职前老师，我们开设这门课程的时候紧紧围绕“有趣”和“有用”两个中心开展教学活动。之所以把“有趣”摆在前面，是因为师范生是大学生这一
身份更多一些，而且“兴趣是最好的老师”。在编写教材时[4],我们对内容的实用性和趣味性已经给予特别的关注。
3. 哪些内容学生认为有趣
大学生虽然都已经是成年人了，但好玩之心仍然存在。特别是有些同学觉得进入大学之前的10多年读书生活非常辛苦，所以到了大学之后大玩特玩。另一方面，由于各方面的原因，很多大学生不喜欢数学这一学科；即使是数学系，喜欢数学的同学也是少数。我们开设动态几何课程的目的，不仅仅是教一个软件的操作，更希望激发学生学习数学的热情。设想一下，这些师范生自己都不喜欢数学，那么走上工作岗位之后，又怎么能够激发学生学习数学的激情呢？
下面举例说明在动态几何课中，我们是如何激发学生学习兴趣的。必须强调，这里所说的有趣，是指让学生利用超级画板这一辅助工具，探究数学本质有所发现的那种快乐。 3.1案例1：函数作图
不少学生觉得数学单调、枯燥。即使花大量时间做题，效果却不显著，让人失望。数学大师陈省身先生所说的数学好玩，一般人是很难体会的。有人说：“上帝是数学家，唯一能够描述宇宙的语言是数学！”对于这句话，不管是学生，还是老师可能都不大理解。怎么用数学语言去描述宇宙？恐怕很难回答。在很多人看来，数学和自然的联系实在是不多。著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的??数学家不能回避这些大自然提出的问题 。”
其实，并不需要太高深的数学，将中学所学的一些函数加以组合，譬如指数函数、正弦函数、余弦函数等，就能描绘出自然界的很多物体。试试用超级画板绘制函数： ?您会惊奇地看到一只蝴蝶（图1）！或者尝试绘制函数：??esin?-2cos(4?)+ sin(152?-?5)，24?17?16sin?cos?，您会感慨原来数学竟也如此有“爱心”（图2）！
极坐标函数在中学教学中是不大受欢迎的。很多同学觉得已经有了直角坐标系了，为什么还要引入极坐标系呢？而这两个例子则是有力的证明。这么美的图案谁不喜欢？而这又是直角坐标系难以绘制的。当然，直角坐标系也自有风采，如图3和4，就是利用简单的直线方程和圆锥曲线方程绘制的。
图1 图2
图3 图4
3.2案例2：编程作图
如果总是一个一个函数的绘图，是比较辛苦的。而计算机的一个好处就是：只要人下了指令，总是无怨无悔地执行。数学系的学生学习编程，大多都是计算一些数值，譬如判断素数，查找水仙花数，二分法求根等，几乎不可能有机会感受到用计算机作图的快乐。而在动态几何课程中，他们将把编程和数学作图结合起来，创作出一幅幅精彩的数学作品。当然，他们首先要学会下面这些图案的编程算法（图5——图8）。
一个学生在作业中对图5作了描述，他写道：勾三、股四、弦五，源出《周髀算经》；时至今日，3、4、5已成为最经典的一组勾股数，人尽皆知。从数的方（平方）容易联想到形的方（正方形）。从一个直角三角形出发，分别以其三边为边长向外作正方形；斜边上正方形的面积，等于两直角边上正方形面积之和，此称为勾股图。继续进行下去，不断地利用勾股定理将一个正方形分解得到2个正方形，4个正方形，8个正方形??，达到一定次数则形成树状，此称为勾股树。仔细观察，你可发现勾股树中的勾股图都是相似的，只不过尺寸不同罢了。抓住其相似性，利用计算机的迭代功能，轻轻松松即可绘制勾股树，甚至还可以作出动态的效果。
图5 图6
图7 图8 3.3案例3：动画探究极限
提到数学中的不动点，相信不少人都觉得是很神秘的，很难的，让人望而却步。但下面这个例子却让人觉得很好玩。
先来个简单的热热身：任给一个数，乘以0.5得到一个新的数；再将这个新的数乘以0.5得到下一个数；继续下去，最终这个数会等于多少呢？
然后增加一点难度：任给一个数，乘以0.5后再加上0.5得到一个新的数；再将这个新的数乘以0.5后再加上0.5得到下一个数；继续下去，最终这个数会等于多少呢？
做个简单的动画功能就能展示其变化过程了。如图9，测量参数x，初始值为-3；作参数x的动画，频率改为1，参数范围改为x到x*0.5+0.5,动画类型改为一次运动；多次点击动画按钮，发现x的测量值越来越接近于1。用变量尺改变x的值，再点击动画进行验证。
图9 图10
通法的好处就在于掌握之后，能够解决一大类问题。动画的功能也是如此。图10展示的是每次点击动画，n变化到2n，(1+1nsinxn)的变化趋势。类似还可以探究其他极限，例如lim，limn等。
x?0n??nx3.4案例4：从连线到包络
这是一个适合初学者的案例，甚至小学生都可以尝试这个案例。
如图11，请按照下列规则将点连接成线。直线上的点，将同样颜色、同样数字的点连线。圆上的点，按照数字顺序依次连线。图12是最终结果。
这样的案例是很受欢迎的，既简单又有趣，所得图象比较卡通，比较容易吸引学生。连线规则也可进行改变，不是简单的两个相同数字连线，而是另外的一些老师希望强化的知识点：譬如和为10或者积为60的两个数连线。
如图13，在坐标系上作出一些坐标点之后，将和为13的两个数连接起来。有理由相信，这对学生学习坐标系是有好处的，至少不会觉得太陌生。这样，可能学生就会觉得坐标系也不是什么新东西，只