发布时间 : 星期二 文章教案 二项式定理 教师版更新完毕开始阅读fee79f34b90d6c85ec3ac6f9
10.5 二项式定理
●知识梳理
1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础. 2.二项展开式的性质是解题的关键.
3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等. ●点击双基
1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x的奇数次方的系数都是负值，
∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9. ∴已知条件中只需赋值x=－1即可. 答案：B
2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是 A.6
B.12
C.24
D.48
2解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C24·2=24.
答案：C
3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－A.14
1x?r2?3(7?x)1x）7的展开式中常数项是
C.42
D.－42
1xr）r=C727?r·
B.－14
解析：设（2x3－
r）7的展开式中的第r+1项是Tr?1=C7（2x3）7?r（－
（－1）r·x
当－
r2，
61
+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）·2=14.
答案：A
34.（2004年湖北，文14）已知（x+x
2?13n
）的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________.
（以数字作答）
3解析：∵（x2+x
?13）n的展开式中各项系数和为128，
313r）r=C7·x
∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128.
r∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为Tr?1=C7（x2）7?r·（x
?63?11r6，
令
63?11r6=5即r=3时，x5项的系数为C37=35.
答案：35
5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.
2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.
答案：11 ●典例剖析
【例1】 如果在（x+
124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.
解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2×
n2n2，
n(n?1)8，
=1+
n(n?1)8，得n=8.
12r16?3r设第r+1项为有理项，Tr?1=C·有理项为T1=x4，T5=
358r8·x
4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.
x，T9=
1256x2.
评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r. 【例2】 求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+
1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项.
1|x|－2）3=（｜x｜+
－2）（｜x｜+
1|x|－2）（｜x｜+
1|x|1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个
括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取
∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x|+
1|x|，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，
－2）3=（|x|－
1|x|）6.
设第r+1项为常数项，
r则Tr?1=C6·（－1）r·（
1|x|r）r·|x|6?r=（－1）6·C6·|x|6?2r，得6－2r=0，r=3.
∴T3+1=（－1）3·C36=－20.
思考讨论
（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数； （2）求（x+
4x－4）4的展开式中的常数项；
（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数. 解：（1）原式=1=14.
（2）（x+
4x1?x41?x4（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C6－
－4）=
4
(x2?4x?4)x44=
(2?x)x48442·，展开式中的常数项为C8（－1）4=1120.
（3）方法一：原式=
(1?x)[(1?x)348?1](1?x)?1=
(1?x)51?(1?x)x3.
4展开式中x3的系数为C51.
方法二：原展开式中x3的系数为
3333343434C33+C4+C5+…+C50=C4+C4+…+C50=C5+C5+…+C50=…=C51.
评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.
n【例3】 设an=1+q+q2+…+qn?1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2+…+Cnan.
（1）用q和n表示An； （2）（理）当－3 解：（1）因为q≠1， 所以an=1+q+q+…+q 2 n?1= 1?qn1?q. 于是An= 1?q1?q C+ 1n1?q21?q C+…+ 2n1?qn1?qCnn = 11?q2nn12n［（C1n+C2］ n+…+Cn）－（Cnq+Cnq+…+Cnq） = 11?q{（2n－1）－［（1+q）n－1］} = 11?q［2n－（1+q）n］. （2） An2n= 11?q［1－（ 1?q2）n］. 因为－3 lim1?q2An2n |<1. = 11?q所以n??. ●闯关训练 夯实基础 1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 A.20 B.219 C.220 D.220－1 2020解析：C120+C220+…+C20=2－1. 答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－是 A.28 － ax ）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和 B.38 － C.1或38 －2r D.1或28 rr解析：Tr?1=C8·x8r·（－ax1）r=（－a）rC8·x8 . 令8－2r=0，∴r=4. 4∴（－a）4C8=1120.∴a=±2. 当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1. 当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38. 答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－ 1x）8展开式中x5的系数为_____________. 解析：设展开式的第r+1项为Tr?1=Cx令8－ 3r2r88－r ·（－ 1x）=（－1）Cx rr r88?3r2. 2=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C8=28. 答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x3+ x?321x）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________. 92解析：Tr?1=C（x）令3n－ 92rn3n－r ·（x ）=Cn·x rr3n?r. r=0，∴2n=3r. ∴n必为3的倍数，r为偶数. 6试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84. 答案：9 5.已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值. ?2?1解：由题意Cn＋Cn＋Cnnnn=22， 10即C2n＋Cn＋Cn=22， ∴n=6.∴第4项的二项式系数最大. lgx∴C3）3=20000，即x3lgx=1000. 6（x ∴x=10或x= 110. 培养能力 6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11. 求：（1）a1+a2+a3+…+a11； （2）a0+a2+a4+…+a10. 解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26， 又a0=1， 所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65. （2）再令x=－1，得 a0－a1+a2－a3+…－a11=0. ①+②得a0+a2+…+a10= 12 ① ② （－26+0）=－32. 评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1. 7.在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项. （1）求它是第几项；（2）求 ab的范围. － － （12－r）+nr rr解：（1）设Tr?1=C12（axm）12r·（bxn）r=C12a12rbrxm 为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r） －2mr=0，∴r=4，它是第5项. （2）∵第5项又是系数最大的项， 43C12a8b4≥C12a9b3， ① ∴有