发布时间 : 星期一 文章立体几何中的向量方法教案 人教课标版(实用教案)更新完毕开始阅读fefe3d4d185f312b3169a45177232f60dccce72f
第一课时：§立体几何中的向量方法（一）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入
. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？
. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义·＝＜＞或＜＞＝a?b，可求两个向量的数量积或夹角问题；
a?b⑵利用性质⊥?·＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质·＝｜｜，可以解决线段的长或两点间的距离问题． 二、例题讲解
. 出示例：已知空间四边形中，OA?BC，OB?AC．求证：OC?AB．
AB＝OC·(OB?OA) ＝OC·OB－OC·OA． 证明：OC·BC?0，OB·AC?0， ∵OA?BC，OB?AC， ∴OA·OA·(OC?OB)?0，OB·(OC?OA)?0． OC?OA·OB，OB·OC?OB·OA． ∴OA·OB＝OC·OA，OC·AB＝． ∴OC?AB ∴OC·. 出示例：如图，已知线段在平面α内，线段AC??，线段⊥，线段DD'??，?DBD'?30，
如果＝，＝＝，求、间的距离． 解：由AC??，可知AC?AB．
由?DBD'?30可知，＜CA,BD＞＝120，
AB＋CA·BD＋AB·BD) ∴|CD|2＝(CA?AB?BD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋(CA· ＝b2?a2?b2?2b2cos120＝a2?b2．
∴CD?a2?b2．
. 出示例：如图，、分别是棱长为的正方体ABCD?A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线与CD'所成的角．
1211CD'＝(CC'?BC)·(CC'?CD)＝(|CC'|2＋CC'CD＋BC·CC'＋BC·CD)．∴MN·
22CC'?0，BC·CD?0， ∵CC'?CD，CC'?BC，BC?CD，∴CC'CD?0，BC·111CD'＝|CC'|2＝． …求得 ＜MN,CD'＞?，∴＜MN,CD'＞＝60. ∴MN·222. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明． 三、巩固练习 作业：课本练习 、题.
解：∵MN＝(CC'?BC)，CD'＝CC'?CD，
第二课时：§立体几何中的向量方法（二）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入
讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？
（）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；
（）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题. 二、例题讲解
. 出示例： 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，、分别是BB1、的中点，求证：D1F?平面．
证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA＝，DC＝，
DD1＝．以、、为坐标向量建立空间直角坐标系－，则
11∵AD＝()，D1F＝()，∴AD·D1F＝()·()＝，∴D1F?．
22111又 AE＝(,)，∴AE·D1F＝(,)·()＝， ∴D1F?．
222 又 ADAE?A， ∴D1F?平面．
说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明． . 出示例：课本例
分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？ . 出示例：课本例
分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？
. 出示例：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 改写为：已知：直线⊥平面α，直线⊥平面α，、为垂足．求证：．
证明：以点为原点，以射线为非负轴，建立空间直角坐标系，为沿轴，轴，轴的坐标向量，且设BD＝(x,y,z)．
∵⊥α， ∴BD⊥，BD⊥，
∴BD·＝(x,y,z)·()＝＝，BD·＝(x,y,z)·()＝＝,
∴BD＝()．∴BD＝．即BD．由已知、为两个不同的点，∴．
. 法向量定义：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α．如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量． . 小结：
向量法解题“三步曲”：（）化为向量问题→（）进行向量运算→（）回到图形问题. 三、巩固练习 作业：课本、 习题组 、题.
第三课时：§立体几何中的向量方法（三）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学过程： 一、复习引入
. 法向量定义：如果直线l?平面?, 取直线的方向向量为a，则向量a叫作平面α的法向量（ ）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离. . 讨论：如何利用法向量求线面角？ → 面面角？
直线与平面α所成的角?，可看成是向量AB所在直线与平面α的法向量n所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cosa,b?ABnABnabab，我们可以得到如下向量法的公式：
sin??cosAB,n?.
. 讨论：如何利用向量求空间距离？
两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长. 点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长. 二、例题讲解： . 出示例：长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1，，、分别是A1D1、的中点，是BC1与B1C的交点. 求直线与平面所成角的正弦.
解：以点为空间直角坐标系的原点，、、DD1为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则
D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0). 设平面的法向量为 n?(x,y,z)，
??n?DE 则? ， 而DE?(1,0,2)， DF?(2,2,0).
??n?DF??x?2z?0?nDE?0∴? ，即?, 解得x:y:z??2:2:1， ∴n?(?2,2,1).
2x?2y?0???nDF?0∵n?OF?|n||OF|cos? ， 而OF?(1,?2,?1). ∴cos??n?OF?2?1?2?(?2)?1?(?1)76 ???2222218|n|?|OF|(?2)?2?11?(?2)?(?1)76. 18. 变式： 用向量法求：二面角A1?DE?O余弦；与的距离；点到平面的距离.
所以，直线与平面所成角的正弦为三、巩固练习
作业：课本、 习题组 、题.
人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息 零碎的时间实在可以成就大事业 珍惜时间可以使生命变的更有价值 时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连 一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦 得到时间，就是得到一切 用经济学的眼光来看，时间就是一种财富 时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽 我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近 夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望 不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为 时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费 我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间 时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。 新想法常常瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。 每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！” 不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！ 如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。 学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。 藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。 学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向