发布时间 : 星期六 文章(完整版)高考复习：数列的综合运用含解析答案(教师版+学生版)更新完毕开始阅读ff285702bc23482fb4daa58da0116c175e0e1e19
6.6 数列的综合运用
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
例1、在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6， b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
解：(1)证明：∵bn＝log2an，
an＋1
∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，
an∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)设数列{bn}的公差为d，∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2. ∵a1>1，∴b1＝log2a1>0. ∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.
???b1＋2d＝2，?b1＝4，∴?解得? ?b1＋4d＝0，???d＝－1.
n?n－1?9n－n2∴Sn＝4n＋×(－1)＝.
221??logq＝－1，q＝2?2，?
∵?∴? ?log2a1＝4，???a1＝16.
∴an＝25－n(n∈N*)．
考点二 等差数列与等比数列的实际应用
例2、一位幼儿园老师给班上k(k≥3)个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就1
先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加
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入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就
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从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第n(n＝1,2,3，…，k)个小朋友，分给
n＋1第n个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为an.
(1)当k＝3，a0＝12时，分别求a1，a2，a3；
(2)请用an－1表示an，并令bn＝(n＋1)an，求数列{bn}的通项公式；
(3)是否存在正整数k(k≥3)和非负整数a0，使得数列{an}(n≤k)成等差数列？如果存在，请求出所有的k和a0；如果不存在，请说明理由．
解：(1)当k＝3，a0＝12时， 1
a1＝(a0＋2)－(a0＋2)＝7，
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a2＝(a1＋2)－(a1＋2)＝6，
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a3＝(a2＋2)－(a2＋2)＝6.
4(2)由题意知
1n
an＝(an－1＋2)－(an－1＋2)＝(an－1＋2)，
n＋1n＋1即(n＋1)an＝n(an－1＋2)＝nan－1＋2n. 因为bn＝(n＋1)an，所以bn－bn－1＝2n， bn－1－bn－2＝2n－2， … b1－b0＝2.
?2＋2n?n
累加得bn－b0＝＝n(n＋1)．
2又b0＝a0，所以bn＝n(n＋1)＋a0. a0
(3)由bn＝n(n＋1)＋a0，得an＝n＋.
n＋1
若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0，使得数列{an}(n≤k)成等差数列，则a1＋a3＝2a2， a0a0a0
即(1＋)＋3＋＝2(2＋)，解得a0＝0，
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当a0＝0时，an＝n，对任意正整数k(k≥3)，有{an}(n≤k)成等差数列．
[类题通法]
解数列应用题的建模思路
从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
考点三 数列与不等式
例3、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a2＝1，bn＝nSn＋(n＋2)an，数列{bn}是公差为d的等差数列，n∈N*.
(1)求d的值；
(2)求数列{an}的通项公式； (3)求证：
22n1
(a1a2·…·an)·(S1S2·…·Sn)＜.
?n＋1??n＋2?
解：(1)因为a1＝a2＝1，所以b1＝S1＋3a1＝4，b2＝2S2＋4a2＝8，所以d＝b2－b1＝4. (2)因为数列{bn}是等差数列，所以bn＝4n， 所以nSn＋(n＋2)an＝4n，即 n＋2Sn＋a＝4.
nn
n＋1
当n≥2时，Sn－1＋an－1＝4.
n－1
①
＋
②
n＋2n＋1
由①－②得(Sn－Sn－1)＋a－a＝0.
nnn－1n－1n＋2n＋1an1n
所以an＋an＝an－1，即＝·. nn－1an－12n－1a212a313an1n
则＝·，＝·，…，＝·. a121a2222an－1n－1
an1
以上各式两边分别相乘，得＝n·n.
a12－1n
因为a1＝1，所以an＝n.
2－1
n＋2
(3)证明：因为Sn＋a＝4，an＞0，Sn＞0，
nn
n＋2Sn＋an＋2nn
Sn·a≤＝2.
nn2
所以
1×2n
则0＜anSn≤4·.所以(a1a2·…·an)·(S1S2·…·Sn)≤4n·.③
n＋2?n＋1??n＋2?n＋2
因为n＝1时，Sn≠a，所以③式等号取不到．
nn则(a1a2·…·an)·(S1S2·…·Sn)＜[类题通法]
数列与不等式相结合问题的处理方法
解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了． 考点四 数列与函数
例4、已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝10(x－1)，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，9
bn＝(n＋2)(an－1)．
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(1)求证：数列{an－1}是等比数列；
(2)当n取何值时，bn取最大值？并求出最大值；
tmtm1
(3)若＜对任意m∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
bmbm＋1解：(1)证明：因为(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0， f(an)＝(an－1)2，g(an)＝10(an－1)，
＋
.
?n＋1??n＋2?
22n＋1