发布时间 : 星期一 文章复变函数复习题一（参考答案）更新完毕开始阅读ff2897c6c850ad02df804113
复习题一
一、 判断题（正确打?，错误打?，把判断结果填入下表）：
1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（?） 2、若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足C.-R.条件。（ ?） 3、如果z0是f(z)的可去奇点，则limf(z)不存在。(? )
z?z04、若函数f(z)在区域D内解析，则f'(z)在区域D内解析。（? ）
5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展为幂级数。（ ?）
6、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?f(z)dz?0。（? ）
C7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（? ）
8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是
1的m阶极点。（? ） f(z)9、如果函数f(z)在闭圆k：|z|?3上解析，且当|z|?3时，有|f(z)|?m(m?0)，则（ ? ） ?z?k,有|f(z)|?m。10、limez??。（? ）
z??二、 单项选择题（将选择结果填入下表。）
1 2 3 4 5
B D B A A
1、方程| z + 3 | + | z + 1 | = 4所表示的图形是：
（A）双曲线； （B）椭圆； （C）直线； （D）圆。
2、设f(z)?2xy?ix2，那么(A)(Df(z)仅在x轴上可导.3、设c：z?i?1,则
()f(z)处处可微；(B)f(z)处处不可导；(C)f(z)仅在原点可导；
cosz?C(z?i)2dz?
（A）
2?i （B）2?sinh1 （C）0 （D）icosi e 1
4、级数(A)?n?1?e2ni32为条件收敛;((C))通项不趋于0;(D)通项趋于0，但发散.n绝对收敛;(B)sinz3?z
5、函数e在点z?3是(B)可去奇点;(C)(一级极点;(D))二级极点.
(A)本性奇点;三、填空题
1、设z??1?3i, 2、
则Argz?arctan3???2k?;k?0,?1,?2,?3?4ii?2?__?__。 i?253、计算积分??z?22z2?z?1dz?z?18?i
zn4、级数?的收敛半径R?n?0n!15、Res(cos)?z?0z四、证明题
0?
.
1．设f(z)在 | z |≤ a上解析，在 | z | = a上有 | f(z) | > m，并且 | f(0) | < m，其中a及
m是有限正数。证明：f(z)在 | z | < a内至少有一零点。见教材p174例4.19
?Im2z,?2、证明f(z)??z2?0?z?0,在原点不连续。 z?0z?0z?0证 ,因为,当z沿实轴趋于0时,limf(z)?0; 当z沿虚轴趋于0时,limf(z)???1;所以
limf(z)不存在,故函数在原点不连续.
z?03、证明u?x2?y2?3x为z平面上的调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)及解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)使合条件f(0)?0.(f(z)?z2?3z)
五、计算题
1、设w?5z确定在从原点z?0起沿正实轴割破了的z平面上，并且w??1???1，试求w?1?i?的值。 解 设z?re,则w(z)?5rei?i??2k?5,z?G:0???2?,k?0,1,2,3,4.当z??1时,r?1,???,由
7??4?i45w(?1)?51ei??2k?57?;故w?1?i??102e??1,确定k?2;当z?1?i时,r?2;??4?102ei23?20.
2、函数f(z)?1在z平面内有两个奇点z?1及z?2，试分别求f(z)在此二点去心邻域
(z?1)(z?2)0?|z?1|?1和0?|z?2|?1内的洛朗级数。见教材p186例5.2
2
3、设C是z?ei?，?从0到
?的圆弧段，计算?lnzdz，（lnz为主值支）。
C2??i??i?i??0解 lnz?ln|z|?i?,?lnzdz??2(ln1?i?)deC0??2i?de0?i?e|02??2ei?d(i?)
???20??e|02?1?d?
3?2sin?i?i??2?i
4、计算?2?dzz2?1z2?3iz?1?解 命z?e,则d??,3?2sin??3?2,故有
iz2iziz?2?01d?1dz1f(z)????dz,被积函数在|z|?1只有一阶222?|z|?1|z|?13?2sin?z?3iz?1z?3iz?1izz?3iz?1iz?3?5极点z0?i,所以,
2
?2?0d?1?2?iResf(z)?2?i|z?z03?2sin?2z?3iz??3?25?i2?5.
3