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智慧故事与数学思想(转载）
2012-04-02 22:06:46| 分类： 数学教学|举报|字号 订阅
古今中外流传着许多智慧故事，这些妙处横生的故事，内涵丰富，意蕴深刻，读后让人赏心悦目，回味无穷。特别是有些故事还蕴含着丰富的数学思想和方法，深刻领会并灵活运用这些数学思想和方法，能提升我们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。现举例说明。 “孔子穿珠”与转换思想
孔子是我国早期的教育家、思想家。有一天他得到了一颗稀世珠宝，珠宝上有一个九道弯的孔。孔子想给珠宝穿上一根线，可试了很久都没有成功。他想，妇女心细，像这样的事情她们可能会有办法，于是便去问一个在附近采桑的妇女。采桑的妇女要孔子捉只蚂蚁，然后在蚂蚁的细腰上系一根细细的丝线，把蚂蚁放进珠宝孔的一头，在另一头抹上蜂蜜，引逗蚂蚁。果然，蚂蚁带着丝线从珠孔的这头爬到了那一头，很快就把线穿好了。
孔子要想给九道弯的珠孔穿上线，是一件很难的事，甚至是一件无法完成的事。但对于细小的蚂蚁来说，简直就是小菜一碟！孔子利用蚂蚁轻松地解决了一个难题。受此启发，我们在解数学题时，有些题直接求解（或证明）很繁琐甚至很困难，如果我们转换角度，换位思考，就可以轻而易举地解决。
例1 姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后，姐姐去追他，姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟后又返回找姐姐，碰上姐姐又去找弟弟，这样跑来跑去，直到姐姐追上弟弟小狗才停下来，问小狗一共跑了多少米？
解析：本题如果单纯考虑小狗怎样跑，问题很复杂。实际上，不管小狗怎样跑，它走的时间与姐姐追及弟弟的时间是相等的，而姐姐追及弟弟的时间=姐弟开始相距的距离÷姐弟速度差=80÷（60-40）=4（分钟），所以小狗跑的路程=150×4=600（米）。 “池塘有多少桶水”与整体思想
从前，有个国王在大臣们的陪同下，来到御花园散步。国王瞧着前面的水池，忽然心血来潮，问身边的大臣：“这水池里共有多少桶水？”众臣一听，面面相觑，全答不出来。国王发旨：“给你们三天时间考虑，回答出来重赏，回答不出来重罚！”随后几天里，大臣们用桶量来量去，怎么也量不出一个确切的数据。眨眼三天到了，大臣们仍一筹莫展。就在此时，一个少年走向宫殿，声称自己知道池塘有多少桶水。国王命令那些战战兢兢的大臣带少年去看池塘，少年却笑道：“不用看了，这个问题太容易了！”国王乐了：“哦，那你就说说吧。”少年眨了眨眼说：“这要看那是怎样的桶。如果和水池一样大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有两桶水；如果桶只有水池的三分之一大，那池里就有三桶水；如果……”“行了，完全正确！”国王重赏了这个少年。
大臣们为什么不能解决国王的问题呢？原来，他们都掉进了思维定势：一桶一桶地去量。而那个少年则撇开了池塘的大小，从桶的角度思考问题，结果问题一下子就解决了。是的，我们在解数学题时，常常受条件和问题束缚，没有把握局部和整体的关系，缺乏数学整体思想，往往把简单的问题复杂化了。
例2 已知A＝987654321×987654324， B＝987654322×987654323，试比较A和B的大小。
解析：本题如果把A和B的值都算出来，数字庞大，计算繁琐，且容易出错。如果我们把987654321看做一整体，令m＝987654321，则A＝m（m+3），B＝（m+1）（m+2）。于是，A-B=m（m+3）-（m+1）（m+2）=-2＜0，所以A＜B。 “只借一美元”与逆向思维
有这样一个故事，一位犹太商人来到一家银行贷款部，对贷款部经理说：“我想借点钱。”“完全可以，您想借多少呢？”“1美元，可以吗？”贷款部经理显出十分诧异的神情，此人穿戴十分阔绰，为什么只借1美元呢？也许，这是一种试探，试探银行的工作质量和服务态度。于是他立即装出一副十分高兴的样子说：“当然可以，只要有担保，无论多少都可以照办。”
“那好吧。”犹太商人从豪华的皮包里取出一大堆股票、国债、债券等放在经理的办公桌上。经理清点了一下对犹太商人说：“先生，总共是50万美元，做担保足够了。不过您真的只想借1美元吗？”“是的，我只需要1美元。”犹太商人办完一切手续便欲离去。这时银行行长从后面追上来，有些窘迫：“先生，我实在弄不明白，您拥有50万美元的家当，为什么还要借1美元呢？”
“我到这里来是想做一笔生意的，可是随身携带的这些票券很碍事。租金库的租金昂贵，但我贷1美元，一年只还1美分，便将这些东西以担保的形式寄存在贵行这里，这多合算啊。”
你看，聪明的犹太商人从事情的反面进行思考，把由原先存钱的思路变成了借钱思路，将保存品变成了抵押品，同样达到保管票券的目的，却付出很少。我们在学习数学时，有时一些问题从正面进行思考往往繁琐，甚至束手无策。此时，如能改变方向，逆向思考，往往会收到意想不到的效果。
例3 从前有个农夫死后留下一些牛。他在遗书中写道：“分给妻子全部牛的一半再加半头，分给长子剩下的一半再加半头，分给次子的是长子分剩下的一半再加半头，分给女儿最后剩下的一半再加半头。”结果一头牛也没有剩且正好全部分完。问：农夫留下了多少头牛？
这是一道数学名题，曾引起广大数学爱好者的浓厚兴趣。据说大文学家托尔斯泰给出的解答思路是数学解题中非常典型的逆推法。
具体解法是：由女儿最后分得“一半再加半头后正好全部分完”，可判断前面的次子剩下的奇数只能是1，道理很简单，因为所有奇数中只有最小的1才符合这个要求，即1的一半加0.5还等于1。弄清了最后一个剩下的数是1，就能很方便地依次向前逆推，
可知前三个剩下的奇数分别为（1+0.5）×2=3，（3+0.5）×2=7，（7+0.5）×2=15。亦即分给长子的牛数为4头，分给妻子的牛数为8头，农夫留下的牛数为15头。此题充分说明用逆向思维解数学题的优势。 “鸡兔同笼”与假设思想
今有雉（鸡）兔同笼，上有二十个头，下有五十四只足，问雉、兔各几何？ 解析：采用假设法并用直观图说明，用20个○表示鸡兔共20个头，假如全是鸡，在每个○下面画出两只足，共计40只足，这样就少了54-40=14（只）足，为什么少14只足？这是因为兔子有4只足，只画了2只，每只兔比每只鸡多2只足，所以还要在7只鸡中补画14只足，从图上可直观看出7只兔子，13只鸡。
本题也可假设全是兔，同样可求出7只兔子，13只鸡。 “借马分马”与借助思维
从前有位农夫，在临终前对三个儿子说：“我有十七匹马，你们三人分。老大呢分二分之一；老二嘛分三分之一；老三呢只分九分之一。”说完这几句话后，农夫就去世了。
三兄弟在执行遗嘱时，一致认为这些马是父亲生前心爱之物，决不能将其中任何一匹劈成几块瓜分。但每个人要得到整数匹，如何是好呢？正在这时，他们的老娘舅骑来了一匹马，听完此事后，眉毛一扬，说：“我有办法，我替你们分。”老娘舅把自己带来的一匹马临时借出来凑数，共有了18匹马。老娘舅说，老大得总数的二分之一，得9匹马；老二得总数的三分之一，得6匹马；老三拿总数的九分之一，得2匹马。三兄弟分到的马总和恰好是17匹：9＋6＋2=17。现在剩下最后一匹，这当然就是老娘舅自己带来的那匹马，物归原主即可。
借马的目的是为了凑数（搭桥），桥一搭，人就能过去了。在数学学习中，我们也常常采用“借马分马”这种技巧解题。 “曹冲称象”与“等量代换”思想
曹冲称象的故事家喻户晓。曹冲当时采用的那种称象方法的确很聪明。如今的称量工具非常发达了，不需再费那么大的周折去一筐筐地搬石头了。但将复杂的问题转换成简单的问题这种“等量代换”的数学思想和方法，在数学学习中依然常常用到。 例4 如下图所示，两个相同的直角三角形（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
解析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，差应相等，即阴影部分面积与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。所以阴影部分的面积是17平方厘米。