发布时间 : 星期二 文章2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习 压轴大题抢分专练(一)更新完毕开始阅读ff5e92e830126edb6f1aff00bed5b9f3f80f7260
压轴大题抢分专练（一）
x2y2
1.已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，P，Qab为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ的中点，线段
PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运
动到椭圆的右顶点时，|PF|＝
2. 2
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．
解：(1)由题意知，当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，
b22
则|PF|＝＝，
a2
又c＝1，∴a＝2，b＝1.
∴椭圆M的标准方程为＋y＝1.
2
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，联立椭圆方程得(2k＋1)x＋4kbx＋2(b－1)＝0，
则Δ＝8(2k－b＋1)>0，①
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
2
2
2
2
2
x2
2
??
由根与系数的关系得?－4kbx＋x＝>0， ③??2k＋1
1
2
2
b2－x1x2＝>0， ②2
2k＋1
∴y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝
2b， 22k＋1
b2－2k2
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝2，
2k＋1
―→―→
由PF·QF＝0?(1－x1)(1－x2)＋y1y2＝0，
得3b－1＋4kb＝0，④
2
?－2kb，2b?， 点C?2?
?2k＋12k＋1?
∴线段PQ的中垂线AB的方程为
y－
b2k＋1
22kb?1?
＝－?x＋2?.
2k＋1
k??
－b??－kb??分别令x＝0，y＝0可得A?2，0?，B?0，2?，
?2k＋1??2k＋1?显然A为BC的中点，
∴
S△BCF2S△ABF|AF|
＝＝2＝S△ABOS△ABO|AO|
2
－xAxA?1?＝2?－1?，
?xA?
1－3b由④式得k＝，
4b－kb6b－2b则xA＝2＝4， 2
2k＋19b＋2b＋1
42
S△BCF?16b＋8b＋25?＝2?－1?＝42＝， S△ABO?xA?6b－2b3
4
2
得b＝3(b＝－6舍去)，
2323∴b＝3，k＝－或b＝－3，k＝.
33经检验，满足条件①②③，
2323
故直线PQ的方程为y＝－x＋3或y＝x－3.
332．正项数列{an}满足an＋an＝3an＋1＋2an＋1，a1＝1. (1)求a2的值；
(2)证明：对任意的n∈N，an<2an＋1；
1*,
(3)记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意的n∈N2－n－1≤Sn<3.
2
*2
2
22
解：(1)将n＝1代入题中条件得a1＋a1＝3a2＋2a2＝2及a2>0，
7－1
. 3
2
2
2
22
所以a2＝
(2)证明：由an＋an＝3an＋1＋2an＋1<4an＋1＋2an＋1 ＝(2an＋1)＋2an＋1，
又因为二次函数y＝x＋x在x∈(0，＋∞)上单调递增， 故对任意n∈N，an<2an＋1.
*
2
2
(3)证明：由(2)知，当n≥2时，
an1an－11a21>，>，…，>， an－12an－22a12a＝
1
n－1
由上面(n－1)个式子相乘得an>
12
n－11
2
，
又a1＝
12
1－1
＝1，
1
所以an≥n－1，
2故Sn＝a1＋a2＋…＋an 11≥1＋＋…＋n－1 22
12
n－1
＝2－，
2
2
2
2
另一方面，由于an＋an＝3an＋1＋2an＋1>2an＋1＋2an＋1＝2(an＋1＋an＋1)， 令an＋an＝bn，则bn>2bn＋1，
2
于是
bn1bn－11b21<，<，…，<， bn－12bn－22b12
12
由上面(n－1)个式子相乘得bn≤
n－11
b＝
12
n－2
，
即an＋an＝bn≤
2
12
n－2
，
故Sn＝a1＋(a2＋…＋an) 1??1
<1＋?1＋＋…＋n－2?
2??2＝3－
12
n－2
<3.
1*,
所以对任意的n∈N2－n－1≤Sn<3.
2