发布时间 : 星期一 文章西南名校联盟“3+3+3”2020届高三备考诊断性联考(一)数学(理)试题(含答案)更新完毕开始阅读ffac0e3f01d8ce2f0066f5335a8102d276a26133
∴2cosB?1，cosB?1 2又B是VABC的内角，?B?π． 3π （2）QVABC为锐角三角形，B?，a?1，32ππ∴A?C?π，?A?，
362由正弦定理得
1bc??， sinAsinBsinCπsin?2π?A??? sinBsinC3??3∴b?c????sinAsinAsinAsinAsin31cosA?sinA333cosA13(1?cosA)1 2??2??????，2sinAsinA2sinA2sinA22sinA2ππ∵?A?，∴b?c关于A为减函数 62π?π???3?1?cos?3?1?cos?2?16?1?∴???b?c??， ππ222sin2sin26?3?1?3?1，3?2?∴?b?c?3?2，即b?c的取值范围是??2?． 2??【点睛】
本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.
19．如图，在三棱锥P-ABC中，已知AC?2，AB?BC?PA?影为VABC的外接圆圆心.
2，顶点P在平面ABC上的射
（1）证明：平面PAC?平面ABC；
（2）若点M在棱PA上，
|AM|??，且二面角P-BC-M的余弦值为533，试求?的值. |AP|331 2【答案】（1）证明见解析 （2）??【解析】（1）设AC的中点为O，连接PO，易知点O为VABC的外接圆圆心，从而PO?平面ABC，即可证明平面PAC?平面ABC；
（2）以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MBC与平面PBC的法向量，代入公式即可建立?的方程，解之即可. 【详解】
（1）证明：如图，设AC的中点为O，连接PO，
由题意，得BC2?AB2?AC2，则VABC为直角三角形， 点O为VABC的外接圆圆心．
又点P在平面ABC上的射影为VABC的外接圆圆心， 所以PO?平面ABC，
又PO?平面PAC，所以平面PAC?平面ABC． （2）解：由（1）可知PO?平面ABC， 所以PO?OB，PO?OC，OB?AC，
于是以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，，00)，C(1，，00)，B(0，1，0)，A(?1，，00)，P(0，，01)， 设uAMuuuv??uAPuuv，??[0，1]，uAPuuv?(1，，01)，M(??1，，0?)， uBCuuv?(1，?1，0)，uPCuuv?(1，，0?1)，uMCuuuv?(2??，，0??).
ur设平面MBC的法向量为m?(x1，y1，z1)，
vvuuu?m·BC?0，?x1?y1?0，uv 则?vuuu得?(2??)x??z?0，m·MC?0，11??令x1?1，得y1?1，z1?2???，
1，即m??1，v??2???． ???r设平面PBC的法向量为n?(x2，y2，z2)，
vruuu?n·BC?0，?x2?y2?0，v 由?ruuu得?PC?0，?x2?z2?0，?n·，1，1)， 令x?1，得y?1，z?1，即n?(1rrvn·mrvcos?n，m??rv?|n|?|m|2?2???(2??)2?3?2?533， 33?211??10，?，即M为PA的中点． 解得??，M??，22??2【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 20．已知函数f(x)?k(x?1)ex?x2，其中k∈R． (1)当k=－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k∈[1，2]时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值．
0)，f(x)的单调递减区间为(0，??) 【答案】(1) f(x)的单调递增区间为(??，(2)f(x)max?k(k?1)ek?k2 【解析】(1) 首先求出f求出单调减区间；
'?x?，再由f'?x??0求得单调递增区间，由f'?x??0，解不等式即可
2??2?k?上单上单调递减；在??ln，k?k??ln(2) 首先求得f?(x)?0，结合k的范围，可求得函数在?0，
??
调递增，再比较f(0)，f(k)的大小，即可求得最大值. 【详解】
解：（1）k??1，f(x)??(x?1)ex?x2， 令f?(x)??xex?2x??x(ex?2)?0?x?0， 0)，f?(x)?0；x?(0，??)，f?(x)?0， 故x?(??，f(x)的单调递增区间为(??，0)，f(x)的单调递减区间为(0，??)
（2）f?(x)?kxex?2x?x(kex?2)，
2，2]． ln2]，其中k?[1令f?(x)?0?x?ln?[0，k令g(k)?lng?(k)?2?k，k?[1，2]， k1?，2]上单调递减， ??1???1?0，故g(k)在[1k?k?1?2??22?k故g(k)≤g(1)?ln2?1?0?ln2?k， kln故x??0，??2??2??，f(x)?0；x?k?，f?(x)?0， ??ln，k?k????2??2?k?上单调递增， 上单调递减；在??ln，k??k?ln从而f(x)在?0，k(k?1)ek?k2}，k?[1，2]. 故在[0，k]上，函数f(x)max?max{f(0)，f(k)}?max{?k，由于f(k)?f(0)?k(k?1)e?k?k?k[(k?1)e?k?1]， 令h(k)?(k?1)ek?k?1，k?[1，2]， ，2]恒成立， h?(k)?kek?1?0，对于?k?[1k2k从而h(k)≥h(1)?0，
即f(k)≥f(0)，当k?1时等号成立， 故f(x)max?f(k)?k(k?1)ek?k2． 【点睛】
本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数