发布时间 : 星期一 文章西南名校联盟“3+3+3”2020届高三备考诊断性联考(一)数学(理)试题(含答案)更新完毕开始阅读ffac0e3f01d8ce2f0066f5335a8102d276a26133
在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.
21．已知抛物线E：y=x2的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D. （1）证明：?ADB?90?；
（2）若?ABD的外接圆?与抛物线E有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) k?3或k??3．
【解析】（1）写出两直线l1，l2斜率，利用直线l与抛物线方程联立后根与系数的关系可得k1k2??1，即可证明（2）根据（1）得到圆的方程，与抛物线联立消元得关于x的四次方程，分解因式得两个二次方程，只需判别式同时大于0即可求解. 【详解】
（1）证明：依题意有F?0,??1?1y?kx?，直线：， l?4?4设A?x1,y1?，B?x2,y2?，直线l与抛物线E相交，
?y?x2?12联立方程?1消去y，化简得x?kx?4?0，
?y?kx?4?所以，x1?x2?k，x1x2??1． 4又因为y??2x，所以直线l1的斜率k1?2x1. 同理，直线l2的斜率k2?2x2， 所以，k1k2?4x1x2??1，
所以，直线l1?l2，即?ADB?90?． （2）由（1）可知，圆?是以AB为直径的圆，
设P?x,y?是圆?上的一点，则PA?PB?0，
所以，圆?的方程为?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0， 又因为x1?x2?k，x1x2??uuuruuur
11111222，y1y2?kx1??kx2??k?，y1y2?x1x2?， 44421622所以，圆?的方程可化简为x?y?kx??k???21?3y??0， ?2?16?23?21?2x?y?kx?k?y??0???2?16联立圆?与抛物线E得?， ??y?x2?消去y，得x??k?42??1?23x?kx??0， ?2?16221??23??21??21??即?x????kx???0，即?x?kx???x?kx???0，
4??2?4??4???2若方程x?kx?13?0与方程x2?kx??0有相同的实数根x0， 441?2x?kx??00?11?042?kx0???x0??0矛盾， 则?24?x2?kx?3?000?4?2所以，方程x?kx?13?0与方程x2?kx??0没有相同的实数根， 44?k2?1?0?k?3或k??3， 所以，圆?与抛物线E有四个不同的交点等价于?2k?3?0?综上所述，k?【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，圆的方程，圆与抛物线相交，属于中档题.
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴的平面直角
3或k??3．
?x?tcos?坐标系．直线l的参数方程是?，(t为参数)．
?y?2?tsin?(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=34，求直线的斜率k．
22【答案】(1) x?(y?3)?9． (2) k??1．
【解析】（1）运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，即可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB|=34，利用勾股定理，即可求出直线的斜率；方法2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算t1?t2，结合|AB|=34，即可得到斜率． 【详解】
22解：（1）由曲线C的极坐标方程是??6sin?，得直角坐标方程为x?y?6y，
即x?(y?3)?9．
22?x?tcos?，（2）把直线l的参数方程?（t为参数），
y?2?tsin?，?代入圆C的方程得(tcos?)2?(tsin??1)2?9， 化简得t2?2tsin??8?0．
t2，则t1?t2?2sin?，t1t2??8 设A，B两点对应的参数分别是t1，故|AB|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?4sin2??32?34 得sin???得k??1． 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题． 23．已知a，b，c∈R+，且a+b+c＝2． 求证：(1)
2， 2134???6?33； abcc2a2b2(2)???2．
abc
【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析
1?134?【解析】（1）运用柯西不等式，求????(a?b?c)的最小值，即可证明；
2?abc?1?c2a2b2???(a?b?c)，即可证明. （2）运用柯西不等式，计算??2?abc?【详解】
证明：（1）由柯西不等式，
1341?134?1?132?a?b?c得???????(a?b?c)≥????6?33， abc2?abc?2?abc??2所以
134???6?33． abc（2）由柯西不等式，
?c2a2b2?1?c2a2b2?1???????(a?b?c)≥(c?a?b)2?2， 得??bc?2?abc?2?ac2a2b2所以???2．
abc【点睛】
本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.